Binoma koeficiento

En matematiko, binoma koeficiento aŭ duterma koeficiento aŭ simbolo de Newton ${n \choose k}$ (legu kiel "n inter k") estas funkcio de du argumentoj, malnegativaj entjeraj nombroj difinita kiel:

${n \choose k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}$

kie n! signifas faktorialon.

Valoron de simbolo de Newton oni povas esprimi per rikura formulo:

${n \choose k}={\begin{cases}1&{\mbox{ kie }}k=0{\mbox{ aŭ }}k=n\\{n-1 \choose k-1}+{n-1 \choose k}&{\mbox{ kie }}0<k<n\end{cases}}$

Ĝi estas homologa al difino, do oni povas uzi kiel alian difinon de binoma koeficiento.

Binoma koeficiento aperas en binomo de Newton kiel koeficiento en k-nomo de n-potenca disvolvo de binomo de Newton.

Simbolo de Newton ${n \choose k}$ estas kvanto de n-eraj subaroj en k-era aro.

Atributoj

${n \choose k}={\frac {\prod _{i=1}^{k}n-i+1}{\prod _{i=1}^{k}i}}=\prod _{i=1}^{k}{\frac {n-i+1}{i}}$

${n \choose k}={\frac {n(n-1)\cdots (n-k+1)}{1\cdot 2\cdots k}}$

${n \choose 0}=1$

${n \choose k}={n \choose n-k}$

${n \choose 0}={n \choose n}=1$

${0 \choose 0}=1$

${n \choose k+1}={n \choose k}\cdot {\frac {n-k}{k+1}}$

${r \choose k}={\frac {r}{k}}{r-1 \choose k-1},k\neq 0$

$(r-k){r \choose k}=r{r-1 \choose k}$

$\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}=2^{n}$

$\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}^{2}={2n \choose n}$

$\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}\cdot {n \choose k}=0$

$\sum _{k=1}^{n}k{n \choose k}=n2^{n-1}$

$\sum _{k=0}^{n}{r \choose m+k}{s \choose n-k}={r+s \choose m+n}$

${n \choose k}\leq {\frac {n^{k}}{k!}}$

${n \choose k}\leq \left({\frac {n\cdot e}{k}}\right)^{k}$

${n \choose k}\geq \left({\frac {n}{k}}\right)^{k}$

Vidu ankaŭ

• Kombinaĵo (kombinatoriko)