Maksimumo kaj minimumo: Malsamoj inter versioj

e
Domajno → argumentaro laŭ NPIV http://vortaro.net/#argumentaro
e (Anstataŭigo de ne plu uzota Ŝablono:EL; vidu VP:DT en Marto 2017)
e (Domajno → argumentaro laŭ NPIV http://vortaro.net/#argumentaro)
[[Dosiero:MaximumParaboloid.png|eta|300px|dekstra|La malloka maksimumo estas la punkto je la supro.]]
 
En [[matematiko]], '''maksimumo''' estas la ''plej granda valoro'' kiun [[funkcio (matematiko)|funkcio]] havas en la punkto kompare al ĉiu punkto de donita [[najbaraĵo (matematiko)|najbaraĵo]] ('''loka maksimumo''') aŭ de [[fonto-aro|domajnoargumentaro]] de la funkcio ('''malloka maksimumo'''). La '''punkto de maksimumo''' estas la punkto kie valoro de la funkcio estas la maksimumo.
 
'''Minimumo''' estas la ''plej malgranda valoro'' kiun [[funkcio (matematiko)|funkcio]] havas en la punkto kompare al ĉiu punkto de donita najbaraĵo ('''loka minimumo''') aŭ de [[fonto-aro|domajnoargumentaro]] de la funkcio ('''malloka minimumo'''). La '''punkto de minimumo''' estas la punkto kie valoro de la funkcio estas la minimumo.
 
Ambaŭ maksimumo kaj minimumo estas nomataj kiel '''ekstremumo'''. Tiel, ĉiu loka maksimumo kaj ĉiu loka minimumo estas '''loka ekstremumo''', ĉiu malloka maksimumo kaj ĉiu malloka minimumo estas '''malloka ekstremumo'''.
* Punkto ''x<sub>m</sub>'' estas '''loka minimuma punkto''' de reelo-valora funkcio ''f'' difinita sur la [[normigita vektora spaco]] se ekzistas iu ''ε>0'', tia ke ''f(x<sub>m</sub>) ≤ f(x)'' por ĉiu ''x'' tia ke ''||x-x<sub>m</sub>|| < ε''. La valoro de la funkcio je ĉi tiu punkto estas nomata kiel '''maksimumo''' de la funkcio.
 
Por difinoj de mallokaj maksimumo kaj minimumo ajna nocio de proksimeco aŭ najbareco en domajnoargumentaro de la funkcio ne bezonatas:
 
* Punkto ''x<sub>m</sub>'' estas '''malloka maksimuma punkto''' de funkcio ''f'' se ''f(x<sub>m</sub>) ≥ f(x)'' por ĉiu ''x''.
Ĉiu malloka maksimuma aŭ minimuma punkto estas ankaŭ loka maksimuma aŭ minimuma punkto; tamen, loka maksimuma aŭ minimuma punkto ne nepre estas malloka maksimumo aŭ minimuma punkto.
 
''Limigitaj domajnojargumentaroj'': Povas esti konsiderataj maksimumaj kaj minimumoj por funkcio kies
[[fonto-aro|domajnoargumentaro]] estas iel limigita (ekzemple ne inkluzivas ĉiujn [[reela nombro|reelaj nombroj]]).
 
Ekzemple funkcio ''f(x)=x<sup>2</sup>'' ne havas maksimumon. Tamen se limigi ĝian domajnonargumentaron al ''[1, 2]'' ĝi ekhavas maksimumon je punkto ''x=2'' (ĝi estas malloka maksimumo kaj la sola loka maksimumo).
 
[[Kontinua funkcio|Kontinua]] reelo-valora funkcio sur [[kompakta spaco|kompakta]] aro ĉiam havas maksimumon kaj minimumon sur ĉi tiu aro. Grava ekzemplo estas funkcio kies domajnoargumentaro estas fermita (barita) [[intervalo]] de [[reela nombro|reelaj nombroj]]. Tiam ĉiu fina punkto de la intervalo nepre estas punkto de loka maksimuma aŭ loka minimumo.
 
== Trovado de maksimumoj kaj minimumoj ==
*** minimumon je punkto ''x=0'' (ĝi estas malloka minimumo kaj la sola loka minimumo)
***: <math>\underset{x}{\operatorname{min}} \, x^2 = 0</math>
** Se limigi ĝian domajnonargumentaron al ''[1, 2]'' ĝi havas:
*** maksimumon je punkto ''x=2'' (ĝi estas malloka maksimumo kaj la sola loka maksimumo);
***: <math>\underset{x \in [1, 2]}{\operatorname{max}} \, x^2 = 4</math>
*** minimumon je punkto ''x=1'' (ĝi estas malloka minimumo kaj la sola loka minimumo).
***: <math>\underset{x \in [1, 2]}{\operatorname{min}} \, x^2 = 1</math>
** Se limigi ĝian domajnonargumentaron al ''[-1, 2]'' ĝi havas:
*** maksimumon je punkto ''x=2'' (ĝi estas malloka maksimumo kaj unu el du lokaj maksimumoj);
***: <math>\underset{x \in [-1, 2]}{\operatorname{max}} \, x^2 = 4</math>
*** minimumon je punkto ''x=0'' (ĝi estas malloka minimumo kaj la sola loka minimumo).
***: <math>\underset{x \in [-1, 2]}{\operatorname{min}} \, x^2 = 0</math>
** Se limigi ĝian domajnonargumentaron al ''[-2, 2]'' ĝi havas:
*** maksimumon je punkto ''x=2'' (ĝi estas unu el du mallokaj maksimumoj kaj unu el du lokaj maksimumoj);
*** maksimumon je punkto ''x=-2'' (la alia el du mallokaj maksimumoj kaj la alia el du lokaj maksimumoj);
*: <math>\underset{x}{\operatorname{min}} \, {\cos x } = -1</math> , <math>\underset{x}{\operatorname{max}} \, {\cos x } = 1</math>
* Funkcio ''cos(x) - x/2'' havas malfinie multajn lokajn mallokajn kaj minimumojn, sed ne havas mallokajn maksimumojn aŭ minimumojn.
* [[Konstanta funkcio]] da ajnaj argumentoj havas mallokan maksimumon kaj minimumon je ĉiu punkto de sia domajnoargumentaro.
* Funkcio ''cos(3πx)/x'' kun ''0,1 ≤ x ≤ 1,1'' havas malloka maksimumo je ''x=0,1'' (fina punkto), mallokan minimumon je ''x≈0,3'', lokajn maksimumojn je ''x≈0,6'' kaj ''x=1,1'' (fina punkto), lokan minimumon je ''x≈1,0'' (vidu grafikaĵon supre).