Rimana ζ funkcio: Malsamoj inter versioj

132 bitokojn aldonis ,  antaŭ 4 monatoj
e (Roboto: Automata tekst-anstataŭigo: (- definas + difinas ))
[[Leonhard Euler|Ojler]] montris ke
 
<math>\zeta(z)=\prod_{\text{prima } p}\left(1-\frac{1}{p^z}\right)^{-1}=\left(1-\frac{1}{2^z}\right)^{-1}\left(1-\frac{1}{3^z}\right)^{-1}\left(1-\frac{1}{5^z}\right)^{-1}\ldots</math>
 
Ĉi tiu formulo veras por ĉiu <math>z</math> kies reela parto estas pli ol <math>1</math>.
Per subtraho, oni trovas
 
<math>\zeta(z)\left(1-\frac1 {2^z}\right)=1+\frac{1}{3^z}+\frac{1}{5^z}\ldots</math>
 
En la dekstra flanko, estas nur la malparaj entjeroj. Pro tio,
 
<math>\zeta(z)\left(1-\frac1 {2^z}\right)\frac{1}{3^z}=\frac{1}{3^z}+\frac{1}{9^z}+\frac{1}{15^z}+\ldots</math>
 
Alia subtraho vidigas ke
 
<math>\zeta(z)\left(1-\frac 1 {2^z}\right)\left(1-\frac{1}{3^z}\right)=1+\frac{1}{5^z}+\frac{1}{7^z}+\ldots</math>
 
Ĉiu nombro dividebla per <math>3</math> estante subtrahita, supre restas nur la malparaj nombroj kiuj estas nedivideblaj per <math>3</math>. Simile,
 
<math>\zeta(z)\left(1-\frac1 {2^z}\right)\left(1-\frac{1}{3^z}\right)\left(1-\frac{1}{5^z}\right)=1+\frac{1}{7^z}+\frac{1}{11^z}+\ldots</math>
 
kie, en la dekstra flanko, aperas la entjeraj nombroj kiujn oni ne povas dividi per <math>2,3</math> aŭ <math>5</math> (kaj nur tiuj).
 
Induktive, en la maldekstra flanko aperas la produto <math>\zeta(z)\prod_{\text{prima }p} \left(1-\frac{1}{p^z}\right)</math>, kaj la dekstra nombra konverĝas al <math>1</math>. Oni tuj atingas la proponatan egalecon.
 
''Rimarko:'' la serio kiu difinas <math>\zeta</math> konverĝas absolute, se la reala parto de <math>z</math> estas pli ol <math>1</math>. Tio permesas montri que la dekstra limito estas <math>1</math>.
Sennoma uzanto