Ebena ondo estas ondo kun konstanta frekvenco. Ondaj frontoj de ebena ondo estas ebenaj frontoj, perpendikularaj al vektoro de faza rapido.
Frontoj de ebena ondo en tri-dimensia spaco .Tielaj ebenaj ondoj ne ekzistas en realo, ĉar ebena ondo komencigas en
−
1
{\displaystyle -{\mathcal {1}}}
+
1
{\displaystyle +{\mathcal {1}}}
«kvazaŭebena» . Se kvazaŭondo havas sufiĉan etendaĵon, do proksimume eblas opinii ĝin ebena.
Ekvacio de ajna ondo estas solvo de diferenciala ekvacio , nomiĝas «onda ekvacio» . Onda ekvacio por funkcio
A
{\displaystyle A}
Δ
A
(
r
→
,
t
)
=
1
v
2
∂
2
A
(
r
→
,
t
)
∂
t
2
{\displaystyle \Delta A({\vec {r}},t)={\frac {1}{v^{2}}}\,{\frac {\partial ^{2}A({\vec {r}},t)}{\partial t^{2}}}\,}
kie
Δ
{\displaystyle \Delta }
Laplaca operatoro ;
A
(
r
→
,
t
)
{\displaystyle A({\vec {r}},t)}
r
{\displaystyle r}
situa vektoro de nekonata punkto;
v
{\displaystyle v}
t
{\displaystyle t}
Unu-dimensia kazo
redakti
Animacia movado de ebena ondo. Ebena harmonia ondo rezultas je la jena ekvacio:
A
(
x
,
t
)
=
A
o
cos
(
k
x
−
ω
t
+
φ
0
)
{\displaystyle A(x,t)=A_{o}\cos \left(kx-\omega t+\varphi _{0}\right)\,}
kie
A
(
x
,
t
)
{\displaystyle A(x,t)}
x kaj tempo t ;
A
o
{\displaystyle A_{o}}
amplitudo ;
k
{\displaystyle k}
onda nombro ;
ω
{\displaystyle \omega }
Angula frekvenco ;
φ
0
{\displaystyle \varphi _{0}}
origina fazo . Ankoraŭ ondo priskribiĝas de ekvacioj
A
=
A
o
cos
(
2
π
(
x
λ
−
t
T
)
+
φ
0
)
{\displaystyle A=A_{o}\cos \left(2\pi \left({\cfrac {x}{\lambda }}-{\cfrac {t}{T}}\right)+\varphi _{0}\right)\,}
kie
A
=
A
o
cos
(
2
π
(
x
λ
−
f
t
)
+
φ
0
)
{\displaystyle A=A_{o}\cos \left(2\pi \left({\cfrac {x}{\lambda }}-ft\right)+\varphi _{0}\right)\,}
где
A
=
A
o
cos
(
2
π
λ
(
x
−
v
t
)
+
φ
0
)
{\displaystyle A=A_{o}\cos \left({\cfrac {2\pi }{\lambda }}(x-vt)+\varphi _{0}\right)\,}
где
Mult-dimensia kazo
redakti
Ĝenerale, ekvacio de ebena ondo enskribiĝas kiel
A
(
r
→
,
t
)
=
A
o
cos
(
(
k
→
,
r
→
)
−
ω
t
+
φ
0
)
{\displaystyle A({\vec {r}},t)=A_{o}\cos \left(({\vec {k}},{\vec {r}}\,)-\omega t+\varphi _{0}\right)\,}
kie
k
→
{\displaystyle {\vec {k}}}
onda vektoro , egala
k
n
→
{\displaystyle {k}{\vec {n}}\,}
kie
k
{\displaystyle k}
onda nombro ;
n
→
{\displaystyle {\vec {n}}}
normalo al onda fronto;
r
→
{\displaystyle {\vec {r}}}
situa vektoro de punkto;
(
k
→
,
r
→
)
{\displaystyle ({\vec {k}},{\vec {r}}\,)}
Skalara produto vektorojn
k
→
{\displaystyle {\vec {k}}}
r
→
{\displaystyle {\vec {r}}}
Tie ĉie kaj plu skalara produto estos simboliĝi tiele. Komplekas formo
redakti
Skribiĝas pli alte ekvicion povas skribiĝi en kompleksa formo:
A
(
x
,
t
)
=
A
o
e
i
(
k
x
−
ω
t
+
φ
0
)
.
{\displaystyle A(x,t)=A_{o}\,e^{i\left(kx-\omega t+\varphi _{0}\right)}.}
kaj ĝenerale
A
(
r
→
,
t
)
=
A
o
e
i
(
(
k
→
,
r
→
)
−
ω
t
+
φ
0
)
.
{\displaystyle A({\vec {r}},t)=A_{o}\,e^{i\left(({\vec {k}},{\vec {r}}\,)-\omega t+\varphi _{0}\right)}.}
Ĝusteco tiun formulon simple provas, uzas Eŭleran formulon .
El kompleksa formo de harmonia funkcio sekvas nocio de kompleksan amplitudon , egala
A
^
=
A
o
e
i
φ
0
.
{\displaystyle {\widehat {A}}=A_{o}e^{i\varphi _{0}}.}
Do
A
(
x
,
t
)
=
A
^
e
i
(
(
k
→
,
r
→
)
−
ω
t
)
.
{\displaystyle A(x,t)={\widehat {A}}\,e^{i\left(({\vec {k}},{\vec {r}}\,)-\omega t\right)}.}
modulo de funkcio egalas amplitudon, kaj argumento — origina fazo
φ
0
{\displaystyle \varphi _{0}}
Скорость волны
redakti
Pli detalaj informoj troveblas en artikolo
Faza rapido .
La grupa rapido
v
g
{\displaystyle v_{g}}
v
g
=
∂
ω
∂
k
.
{\displaystyle v_{g}={\frac {\partial \omega }{\partial k}}.}
La faza rapido
v
ϕ
{\displaystyle v_{\phi }}
v
ϕ
=
ω
k
.
{\displaystyle v_{\phi }={\frac {\omega }{k}}.}
Energio de elastan ebenan ondon
redakti
Se
A
(
x
,
t
)
=
A
o
cos
(
ω
t
−
k
x
+
φ
0
)
.
{\displaystyle A(x,t)=A_{o}\cos \left(\omega t-kx+\varphi _{0}\right).}
Apartiĝas en spaco malgranda volumento
Δ
V
{\displaystyle \Delta V}
∂
A
∂
t
{\displaystyle {\cfrac {\partial A}{\partial t}}}
∂
A
∂
x
{\displaystyle {\cfrac {\partial A}{\partial x}}}
Do tio volumenteto havas kineta energio
Δ
W
k
=
ρ
2
(
∂
A
∂
t
)
2
Δ
V
{\displaystyle \Delta W_{k}={\cfrac {\rho }{2}}\left({\cfrac {\partial A}{\partial t}}\right)^{2}\Delta V}
kaj potenciala energio deformiĝon
Δ
W
p
=
E
2
(
∂
A
∂
x
)
2
Δ
V
=
ρ
v
2
2
(
∂
A
∂
x
)
2
Δ
V
.
{\displaystyle \Delta W_{p}={\cfrac {E}{2}}\left({\cfrac {\partial A}{\partial x}}\right)^{2}\Delta V={\cfrac {\rho v^{2}}{2}}\left({\cfrac {\partial A}{\partial x}}\right)^{2}\Delta V.}
Totala energio egale
W
=
Δ
W
k
+
Δ
W
p
=
ρ
2
[
(
∂
A
∂
t
)
2
+
v
2
(
∂
A
∂
t
)
2
]
Δ
V
.
{\displaystyle W=\Delta W_{k}+\Delta W_{p}={\cfrac {\rho }{2}}{\bigg [}\left({\cfrac {\partial A}{\partial t}}\right)^{2}+v^{2}\left({\cfrac {\partial A}{\partial {t}}}\right)^{2}{\bigg ]}\Delta V.}
Denso de energio egale
ω
=
W
Δ
V
=
ρ
2
[
(
∂
A
∂
t
)
2
+
v
2
(
∂
A
∂
t
)
2
]
=
ρ
A
2
ω
2
sin
2
(
ω
t
−
k
x
+
φ
0
)
.
{\displaystyle \omega ={\cfrac {W}{\Delta V}}={\cfrac {\rho }{2}}{\bigg [}\left({\cfrac {\partial A}{\partial t}}\right)^{2}+v^{2}\left({\cfrac {\partial A}{\partial {t}}}\right)^{2}{\bigg ]}=\rho A^{2}\omega ^{2}\sin ^{2}\left(\omega t-kx+\varphi _{0}\right).}
Савельев И.В. // Курс общей физики — Часть 2. Волны. Упругие волны. // М.: Наука, 1988. // vol. 2. // p. 274-315. 
Pli detalaj informoj troveblas en artikolo Grupa rapido.
![{\displaystyle W=\Delta W_{k}+\Delta W_{p}={\cfrac {\rho }{2}}{\bigg [}\left({\cfrac {\partial A}{\partial t}}\right)^{2}+v^{2}\left({\cfrac {\partial A}{\partial {t}}}\right)^{2}{\bigg ]}\Delta V.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d932098511868ba0ef217492915b48d9a802cdc2)
![{\displaystyle \omega ={\cfrac {W}{\Delta V}}={\cfrac {\rho }{2}}{\bigg [}\left({\cfrac {\partial A}{\partial t}}\right)^{2}+v^{2}\left({\cfrac {\partial A}{\partial {t}}}\right)^{2}{\bigg ]}=\rho A^{2}\omega ^{2}\sin ^{2}\left(\omega t-kx+\varphi _{0}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/876102475200657f8a10bbef951a332d27309e62)