Integralanta faktoro

En matematiko, oni solvas certajn ordinarajn diferencialajn ekvaciojn per uzo de integralanta faktoro. La integralanta faktoro estas funkcio elektita ĝuste tiel ke per ĝi eblas solvi la donitan ekvacion.

Konsideru ordinaran diferencialan ekvacion de formo

$y'+a(x)y=b(x)\quad \quad \quad (1)$

kie y = y(x) estas nekonata funkcio de x, kaj a(x) kaj b(x) estas donitaj funkcioj.

La maniero de integralanta faktoro laboras per transformigo de la maldekstra flanko enen la formon de derivaĵo de produto.

Konsideri funkcion M(x). Oni multipliki ambaŭ flankojn de (1) je M(x):

$M(x)y'+M(x)a(x)y=M(x)b(x)\quad \quad \quad (2)$

Necesas ke la maldekstra flanko estu en formo de derivaĵo de produto. Fakte, se alpreni ĉi tion la maldekstra flanko povas esti reordigita kiel

$(M(x)y)'=M(x)b(x)\quad \quad \quad (3)$

La maldekstra flanko povas esti integralita multe pli facile per la fundamenta teoremo de kalkulo,

$y(x)M(x)=\int b(x)M(x)\,dx+C$

kie C estas konstanto de integralado. Oni povas nun solvi por y(x)

$y(x)={\frac {\int b(x)M(x)\,dx+C}{M(x)}}$

Tamen, por eksplicita solvo por y(x) oni bezonas trovi esprimon por M(x). Povas esti konkludite de (2) ke M(x) obeas diferencialan ekvacion

$M'(x)-a(x)M(x)=0\quad \quad \quad (4)\,$

Al preni M(x)', dividu ambaŭ flankojn per M(x):

${\frac {M'(x)}{M(x)}}-a(x)=0\quad \quad \quad (5)$

Ekvacio (5) estas nun en formo de logaritma derivaĵo. Solvo de (5) donas ke

$M(x)=e^{\int a(x)\,dx}$

Oni vidas ke multiplikante per M(x) kaj la propraĵo $M'(x)=a(x)M(x)$ estita esenca en solvado de ĉi tiu diferenciala ekvacio. $M(x)$ estas la integralanta faktoro. La nomo venas de la fakto ke ĝi estas integralo, kaj ĝi montras kiel faktoro en la ekvacio.

Ekzemplo

Solvu la diferencialan ekvacion

$y'-{\frac {2y}{x}}=0$

Oni povas vidi ke en ĉi tiu okazo $a(x)={\frac {-2}{x}}$

$M(x)=e^{\int a(x)\,dx}$

$M(x)=e^{\int {\frac {-2}{x}}\,dx}$

$M(x)={\frac {1}{x^{2}}}$

Multiplikante ambaŭ flankojn per $M(x)$ oni ricevas ke

${\frac {y'}{x^{2}}}-{\frac {2y}{x^{3}}}=0$

$\left({\frac {y}{x^{2}}}\right)'=0$

aŭ

${\frac {y}{x^{2}}}=C$

kiu donas ke

$y(x)=Cx^{2}$

Vidu ankaŭ

• Maniero de variacio de parametroj
• Ekzemploj de diferencialaj ekvacioj
• Logaritma derivaĵo
• Produta regulo
• Akurata diferencialo