Derivaĵo de produto

En matematiko, produta reguloleĝo de Leibniz estas formulo donanta derivaĵon de produto de funkcioj. Estu f(x) kaj g(x) esti du diferencialeblaj funkcioj de x. Tiam

(f·g)'=f·g'+g·f'

aŭ en la alia skribmaniero:

Ekzemploj

redakti
  • Trovu derivaĵon de f(x) = x2. Ĉi tiu funkcio povas esti skribita kiel f(x) = x·x kaj per uzo de la produta regulo
 
  • Trovu derivaĵon de f(x) = x3. Ĉi tiu funkcio povas esti skribita kiel f(x) = x2·x kaj
 

El la antaŭa ekzemplo prenu la formulon por   kaj do

 
  • Trovu derivaĵon de f(x) = x2 sin(x).
 

Derivaĵo de sin(x) estas cos(x) kaj do

 

Konsekvencoj

redakti
  • Speciff okazo de la produta regulo estas la konstanta multiplika regulo kiuj ststas ke se c estas konstanto (ne dependas de x) kaj f(x) estas diferencialebla funkcio, tiam cf(x) estas ankaŭ diferencialebla, kaj ĝia derivaĵo estas
 

ĉar  .

  • La produta regulo donas la malfortan version de la regulo de derivaĵo de kvociento. Ĝi estas malforta versio en tio ke ĝi ne pruvas ke la kvociento estas diferencialebla, sed nur statas kio estas ĝia derivaĵo se estas ĝi estas diferencialebla.

Per difino de derivaĵo

redakti
 
f(x)(g(x + h) - g(x)) + g(x + h)(f(x + h) - f(x))

Ĉi tiu pruvo estas simila al la pruvo pli supre. Estu

y(x) = f(x)g(x)

Laŭ difino de derivaĵo

 

kaj do

 

Por plisimpligi la limigon oni adiciu kaj subtrahu termon f(x)g(x + h) al la numeratoro, tiam rezultas

 

Tiam eblas faktorigi partojn de la numeratoro

 

La frakcio estas disdividiĝas en du frakciojn

 

Pro tio ke g(x) estas diferencialebla ĝi estas kontinua je x kaj do   ekzistas kaj egalas al g(x). Krome, f(x) ne dependas de h kaj povas esti eligita el la limigo kiel konstanta faktoro. Tiel la limigo povas esti aplikata aparte al eroj de la esprimo

 

La difinoj de derivaĵoj de f(x) kaj g(x)

 
 

Povas esti uzataj por anstataŭigi erojn de la antaŭ esprimo kaj rezultas la produta regulo

 

Funkcio f(x) = g(x)h(x) povas esti konsiderata kiel funkcio de du variabloj g kaj h, ĉiu el kiuj en sia vico estas funkcio de x.

Ambaŭ partaj derivaĵoj de f je g kaj h povas esti trovitaj:

 

kie h estas konsiderata kiel konstanto; kaj

 

kie g estas konsiderata kiel konstanto.

Tiam

 

Ekspliko per diferencialoj

redakti

Malkovro de ĉi tiu regulo estas kreditita al Gottfried Wilhelm Leibniz, kiu monris ĝian verecon jene.

Estu f(x) kaj g(x) du diferencialeblaj funkcioj de x. La diferencialo de fg estas

d(fg) = (f + df)(g + dg) - fg = f·dg + g·df + df·dg

Pro tio ke la termo df·dg estas malatentebla (ĉar ĝi estas kvadrate malgranda respektive al df kaj dg, Leibniz konkludis ke

d(fg) = f·dg + g·df

kaj ĉi tio estas diferenciala formo de la produta regulo. Se dividi la esprimon per diferencialo dx rezultas

 

Aliaj okazoj

redakti

Derivaĵoj de produtoj de vektoraj funkcioj

redakti

La regulo veras ankaŭ por skalara produto kaj vektora produto de du vektoro-valoraj funkcioj de skalara variablo.

Estu f(x) kaj g(x) ĉi tiaj funkcioj de skalaro x.

Tiam por derivaĵo de ilia skalara produto estas formulo

 

Por derivaĵo de ilia vektora produto estas formulo

 

kie la ordo de multiplikatoj en ĉiu vektora produto gravas.

Derivaĵo de produto de matricaj funkcioj

redakti

La regulo veras ankaŭ por matrica produto kaj vektora produto de du matrico-valoraj funkcioj de skalara variablo.

Estu A(x) kaj B(x) ĉi tiaj funkcioj de skalaro x, de tiaj ampleksoj ke ilia matrica produto A(x)B(x) ekzistas.

Tiam por derivaĵo de ilia matrica produto estas formulo

 

kie la ordo de multiplikatoj en ĉiu produto gravas.

Derivaĵo de produto de pli ol du funkcioj

redakti

La produta regulo povas esti ĝeneraligita al produto de pli ol du faktoroj.

Por kolekto de funkcioj f1(x), ..., fk(x) de variablo x:

 

Ekzemple, por tri faktoroj:

 

Ĉi tio veras ankaŭ por matrico-valoraj funkcioj, sed tiam ordo de multiplikatoj en la produtoj devas esti ĉiam tia kia ĝi estas en la fonta produto. Por kolekto de matrico-valoraj funkcioj A1(x), ..., Ak(x) de variablo x, de ampleksoj tiaj ke ilia produto ekzistas. Taim

 

Ekzemple, por tri faktoroj:

 

Pli altaj derivaĵoj

redakti

La produta regulo povas esti ĝeneraligita al pli altaj derivaĵoj de produto de du funkcioj f(x) kaj g(x) de variablo x:

 

kie   estas binomaj koeficientoj. La formulo aspekte similas al la binomo de Newton.

Ekzemple por n=2:

 

Ĉi tio veras ankaŭ por matrico-valoraj funkcioj, tiam la ordo de multiplikatoj en ĉiu produto gravas.

Miksitaj partaj derivaĵoj

redakti

Por miksita parta derivaĵo de n-a ordo de produto de du funkcioj f(x1, ..., xn) kaj g(x1, ..., xn) je x1, ..., xn estas formulo

 

kie la indekso S trapasas ĉiujn 2n variantojn de subaro de aro {1, ..., n}.

Ekzemple por n=3:

 
 
 

Ĉi tio veras ankaŭ por matrico-valoraj funkcioj, tiam la ordo de multiplikatoj en ĉiu produto gravas.

Vidu ankaŭ

redakti