Derivaĵo de kvociento

En matematiko, la kvocienta regulo estas idento por derivaĵo de funkcio kiu estas la kvociento de du la aliaj funkcioj por kiuj la derivaĵoj ekzistas.

Se la funkcio f(x) estas donita kiel

$f(x)={\frac {g(x)}{h(x)}}$

kaj h(x)≠0, tiam la derivaĵo de f(x) estas

${\frac {df(x)}{dx}}={\frac {{\frac {dg(x)}{dx}}h(x)-g(x){\frac {dh(x)}{dx}}}{(h(x))^{2}}}$

aŭ en la alia skribmaniero

$f'(x)={\frac {g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{(h(x))^{2}}}$

Pli detale, se por ĉiu x en iu malfermita aro enhavanta nombron a, h(x)≠0 kaj g'(a) kaj h'(a) ambaŭ ekzistas do f'(a) kaj

$f'(a)={\frac {g'(a)h(a)-g(a)h'(a)}{(h(a))^{2}}}$

Ekzemplo

${\frac {d\tan(x)}{dx}}={\frac {d{\frac {\sin(x)}{\cos(x)}}}{dx}}$

g(x) = sin(x)

g'(x) = cos(x)

h(x) = cos(x)

h'(x) = -sin(x)

${\frac {d\tan(x)}{dx}}={\frac {\cos(x)\cos(x)-\sin(x)(-\sin(x))}{(cos(x))^{2}}}={\frac {(\cos(x))^{2}+(sin(x))^{2}}{(cos(x))^{2}}}={\frac {1}{(cos(x))^{2}}}$

Pruvoj

Per difino de derivaĵo

$f'(x)=\lim _{w\to 0}{\frac {f(x+w)-f(x)}{w}}=\lim _{w\to 0}{\frac {{\frac {g(x+w)}{h(x+w)}}-{\frac {g(x)}{h(x)}}}{w}}$

Oni eligu la 1/w kaj kombinu la frakciojn en la numeratoro:

$f'(x)=\lim _{w\to 0}{\frac {1}{w}}\left({\frac {g(x+w)h(x)-g(x)h(x+w)}{h(x)h(x+w)}}\right)$

Adiciante kaj subtrahante de g(x)h(x) en la numeratoro:

$f'(x)=\lim _{w\to 0}{\frac {1}{w}}\left({\frac {(g(x+w)h(x)-g(x)h(x)-g(x)h(x+w)+g(x)h(x)}{h(x)h(x+w)}}\right)$

Oni faktorigu ĉi tion kaj multipliku je la 1/w tra la numeratoro:

$f'(x)=\lim _{w\to 0}{\frac {{\frac {g(x+w)-g(x)}{w}}h(x)-g(x){\frac {h(x+w)-h(x)}{w}}}{h(x)h(x+w)}}$

Nun oni movu la limigon tra:

$f'(x)={\frac {\lim _{w\to 0}\left({\frac {g(x+w)-g(x)}{w}}\right)h(x)-g(x)\lim _{w\to 0}\left({\frac {h(x+w)-h(x)}{w}}\right)}{h(x)h(\lim _{w\to 0}(x+w))}}$

Laŭ la difino, la limigoj en la numeratoro estas derivaĵoj, kaj do tiel:

$f'(x)={\frac {g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{[h(x)]^{2}}}$

Per regulo por derivaĵo de produto

Se

$f(x)={\frac {g(x)}{h(x)}}$

do

g(x) = f(x)h(x)

kaj

g'(x)=f'(x)h(x) + f(x)h'(x)

De ĉi tie per algebraj transformoj eblas ricevi formulon por f'(x).

$f'(x)={\frac {g'(x)-f(x)h'(x)}{h(x)}}={\frac {g'(x)-{\frac {g(x)}{h(x)}}h'(x)}{h(x)}}=$

$={\frac {g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{(h(x))^{2}}}$

Ankaŭ eblas apliki la regulo por derivaĵo de produto rekte se 1/h(x) estas konsiderata kiel la dua multiplikato :

$f(x)={\frac {g(x)}{h(x)}}=g(x){\frac {1}{h(x)}}$

Kun tio ke $({\frac {1}{h(x)}})'={\frac {-1}{(h(x))^{2}}}\cdot h'(x)$ rezultas

$f'(x)=g'(x)(h(x))^{-1}+g(x)(-(h(x))^{-2}h'(x))={\frac {g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{(h(x))^{2}}}$

Per tuteca derivaĵo

Funkcio $f(x)={\frac {g(x)}{h(x)}}$ povas esti konsiderata kiel funkcio de du variabloj g kaj h, ĉiu el kiuj en sia vico estas funkcio de x.

Ambaŭ partaj derivaĵoj de f je g kaj h povas esti trovitaj:

${\frac {\partial f}{\partial g}}={\frac {1}{h}}$

kie h estas konsiderata kiel konstanto; kaj

${\frac {\partial f}{\partial h}}=g\cdot {\frac {-1}{h^{2}}}$

kie g estas konsiderata kiel konstanto.

Tiam

${\frac {df}{dx}}={\frac {\partial f}{\partial g}}g'(x)+{\frac {\partial f}{\partial h}}h'(x)=$

$={\frac {1}{h(x)}}g'(x)+g(x){\frac {-1}{(h(x))^{2}}}h'(x)={\frac {g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{(h(x))^{2}}}$

Vidu ankaŭ

• Derivaĵo de funkcia komponaĵo
• Derivaĵo de produto