Sendependeco (probabloteorio)

En Probablo-teorio, sendependeco aŭ statistika sendependeco de du eventoj estas tio ke apero de la unua evento faras nek pli nek malpli verŝajnan tion ke la dua evento okazas.

Ekzemple:

• La evento de preno de 6 de la unua ĵeto de ĵetkubo kaj la evento de preno de 6 de la dua ĵeto estas sendependaj.
• La evento de preno de 6 de la unua ĵeto de ĵetkubo kaj la evento de preno de 11 kiel sumo de la nombroj de la unua kaj dua ĵetoj estas dependaj.

Simile, du hazardaj variabloj estas sendependaj se la kondiĉa distribuo de unu el ili kun ajna donita observita valoro de la alia estas la sama kvazaŭ la valoro de la alia ne estas observita.

Ekzemple:

• La hazarda variablo de prenata nombro de la unua ĵeto de ĵetkubo kaj la hazarda variablo de prenata nombro de la dua ĵeto estas sendependaj.
• La hazarda variablo de prenata nombro de la unua ĵeto de ĵetkubo kaj la hazarda variablo kiu estas sumo de la nombroj de la unua kaj dua ĵetoj estas dependaj.

La koncepto de sendependeco etendatas al kolektoj de pli ol du eventoj aŭ hazardaj variabloj.

Sendependaj eventoj

La norma difino de sendependaj eventoj estas:

Du eventoj A kaj B estas sendependaj se kaj nur se Pr(A ∩ B) = Pr(A)Pr(B).

Ĉi tie A ∩ B estas la intersekco de A kaj B, kio estas, ĝi estas la evento ke ambaŭ eventoj A kaj B okazas.

Pli ĝenerale, ĉiu kolekto de eventoj estas reciproke sendependa se kaj nur se por ĉiu finia subaro A₁, ..., A_n el la kolekto

$\Pr \left(\bigcap _{i=1}^{n}A_{i}\right)=\prod _{i=1}^{n}\Pr(A_{i})$

Ĉi tiu estas nomata kiel la multiplika regulo por sendependaj eventoj. La sendependeco postulas ke ĉi tiu regulo estu vera por ĉiu subaro de la kolekto; ekzistas tri-eventa ekzemplo en kiu $\Pr \left(\bigcap _{i=1}^{3}A_{i}\right)=\prod _{i=1}^{3}\Pr(A_{i})\!$ kaj sed neniuj du el la tri eventoj estas duoplarĝe sendependaj.

Se du eventoj A kaj B estas sendependa, tiam la kondiĉa probablo de A kun donita B estas la sama kiel la senkondiĉa probablo de A, kio estas ke

Pr(A | B) = Pr(A)

Estas almenaŭ du kaŭzoj kial ĉi tiu frazo ne estas prenata kiel difino de sendependeco: (1) la du eventoj A kaj B ne havas simetriajn rolojn en ĉi tiu frazo, kaj (2) problemoj estas kun ĉi tiu frazo se eventoj de probablo 0 estas koncernataj.

La kondiĉa probablo de evento A donita B estas donita per

$\Pr(A\mid B)={\frac {\Pr(A\cap B)}{\Pr(B)}}$ (kun Pr(B)≠0)

La frazo pli supre se Pr(B)≠0 estas ekvivalenta al

Pr(A ∩ B) = Pr(A)Pr(B)

kiu estas la norma difino donita pli supre.

Evento estas sendependa de si se kaj nur se

Pr(A) = Pr(A ∩ A) = Pr(A) Pr(A)

kio estas se ĝia probablo estas 0 aŭ 1. Tial se evento aŭ ĝia komplemento preskaŭ certe okazas, ĝi estas sendependa de si. Ekzemple, se evento A estas elektado de ĉiu nombro krom 1/2 de kontinua uniforma distribuo sur la unuobla intervalo, A estas sendependa de si, eĉ kvankam, taŭtologie, A plene difinas A.

Sendependaj hazardaj variabloj

Se X estas reelo-valora hazarda variablo kaj a estas nombro tiam la evento {X≤a} estas la aro de rezultoj kiuj respektivas al tio ke X estas malpli granda ol aŭ egala al a. Pro tio ke ĉi tiuj estas aroj de rezultoj kiuj havas probablojn, estas senco konsideri ĉu eventoj de ĉi tiu speco estas sendependaj de la aliaj eventoj de ĉi tiu speco.

Du hazardaj variabloj X kaj Y estas sendependaj se kaj nur se por ĉiuj nombroj a kaj b la eventoj {X≤a} kaj {Y≤b} estas sendependaj eventoj kiel estas difinite pli supre. Simile ajna kolekto de hazardaj variabloj estas sendependa se kaj nur se por ĉiu finia subaro X₁, ..., X_n el la kolekto kaj ĉiu aro de nombroj a₁, ..., a_n, la eventoj {X₁≤a₁}, ..., {X_n≤a_n} estas sendependaj eventoj kiel estas difinite pli supre.

En mezuro-teoriaj ĉirkaŭtekstoj oni povas preferi anstataŭi eventojn {X≤a} per eventoj {X∈A} en la pli supraj difinoj, kie A estas borela aro. Ĉi tiu difino estas akurate ekvivalenta al la donita pli supre se la valoroj de la hazardaj variabloj estas reelaj nombroj. Ĝi havas avantaĝon ke ĝi laboras ankaŭ por komplekso-valoraj hazardaj variabloj aŭ por hazardaj variabloj prenantaj valorojn en iu topologia spaco.

Se ĉiuj du el kolekto de hazardaj variabloj estas sendependaj, ili povas tamen ne esti ĉiuj kune reciproke sendependaj; ĉi tio estas nomata kiel duoplarĝa sendependeco.

Se X kaj Y estas sendependaj, tiam la ekspekta operatoro E havas la propraĵon

E(XY) = E(X)E(Y)

kaj la varianco havas la propraĵon

var(X+Y) = var(X)+var(Y)

tiel la kunvarianco estas nulo: cov(X, Y)=0.

La reo estas ĝenerale ne vera, kio estas ke du hazardaj variabloj povas havi kunvariancon 0 sed ne esti sendependaj.

Plu, hazardaj variabloj X kaj Y kun distribuaj funkcioj F_X(x) kaj F_Y(y) kaj probablodensoj f_X(x) kaj f_Y(y) estas sendependaj se kaj nur se la kombinita hazarda variablo (X, Y) havas kunan distribuon

F_{X, Y}(x,y) = F_X(x) F_Y(y)

aŭ ekvivalente, kunan densecon

f_{X, Y}(x,y) = f_X(x) f_Y(y)

Similaj formuloj karakterizas sendependecon por pli ol du hazardaj variabloj.

Du sendependaj hazardaj variabloj X kaj Y havas la propraĵon ke la karakteriza funkcio de ilia sumo estas produto de iliaj apartaj karakterizaj funkcioj:

φ_X+Y(t) = φ_X(t) φ_Y(t)

sed la reo estas ĝenerale ne vera. Subsendependeco de hazardaj variabloj estas tio ke la formulo pli supre por la karakterizaj funkcioj veras, sed ĝi ĝenerale ne implicas sendependecon.

Sendependeco de σ-algebroj

La ambaŭ difinoj pli supre estas ĝeneraligataj per jena difino de sendependeco por σ-algebroj. Estu (Ω, Σ, Pr) probablospaco kaj estu A kaj B du sub-σ-algebroj de Σ. A kaj B estas sendependaj se, por ĉiuj A ∈ A kaj B ∈ B ,

Pr(A ∩ B) = Pr(A)Pr(B)

La nova difino rilatas al la antaŭaj aĵoj senpere:

• Du eventoj estas sendependaj (en la malnova senco) se kaj nur se la σ-algebroj kiujn ili generas estas sendependaj (en la nova senco). La σ-algebro generita per evento E ∈ Σ estas, laŭ difino,

$\sigma (E)=\{\emptyset ,E,\Omega \setminus E,\Omega \}$

• Du hazardaj variabloj X kaj Y difinitaj super Ω estas sendependaj (en la malnova senco) se kaj nur se la σ-algebroj kiujn ili generas estas sendependaj (en la nova senco). La σ-algebro generita per hazarda variablo X prenanta valorojn en iu mezurebla spaco S estas, laŭ difino, la plej malgranda σ-algebro kiu enhavas ĉiujn subarojn de Ω de formo X⁻¹(U), kie U estas iu mezurebla subaro de S.

Uzante ĉi tiun difinon, estas facile montri ke se X kaj Y estas hazardaj variabloj kaj Y estas Pr-preskaŭ certe konstanto, do X kaj Y estas sendependaj.

Kondiĉe sendependaj hazardaj variabloj

Du hazardaj variabloj X kaj Y estas kondiĉe sendependaj ĉe donita Z se, kun Z estas sciata, la valoro de Y ne aldonas iun aldonan informon pri X.

Ekzemple, estu du mezuroj X kaj Y de la sama kvanto Z kun sendependaj mezuraj eraroj. Ĉi tio estas ke X-Z kaj Y-Z estas sendependaj. Do X kaj Y estas ne sendependaj, sed ili estas kondiĉe sendependaj se estas donita Z.

La formala difino de kondiĉa sendependeco estas bazita sur la kondiĉaj distribuoj. Estu X, Y, Z diskretaj hazardaj variabloj, oni difinu X kaj Y al esti kondiĉe sendependaj kun donita Z se

P(X≤x, Y≤y | Z=z) = P(X≤x | Z=z) P(Y≤y | Z=z)

por ĉiuj x, y kaj z tiaj ke P(Z=z)>0. Se la hazardaj variabloj estas kontinuaj kaj estas kuna probablodensa funkcio p, tiam X kaj Y estas kondiĉe sendependaj kun donita Z se

p_XY|Z(x, y | z) = p_X|Z(x | z) p_Y|Z(y | z)

por ĉiuj reelaj nombroj x, y kaj z tiaj ke p_Z(z)>0.

Se X kaj Y estas kondiĉe sendependaj kun donita Z, do

P(X = x | Y = y, Z = z) = P(X = x | Z = z)

por ĉiu x, y kaj z kun P(Z=z) > 0. Tio estas, la kondiĉa distribuo por X kun donitaj Y kaj Z estas la sama kiel la kondiĉa distribuo por X kun donita nur Z. Simila ekvacio veras por la kondiĉaj probablaj densecaj funkcioj en la kontinua okazo:

p_X|YZ(x | y, z) = p_X|Z(x | z)

por ĉiuj reelaj nombroj x, y kaj z tiaj ke p_Z(z)>0.

Sendependeco povas esti konsiderata kiel speciala speco de kondiĉa sendependeco, ĉar probablo povas esti konsiderata kiel speco de kondiĉa probablo kun donitaj neniuj eventoj.

Vidu ankaŭ

• Reciproke malinkluzivaj eventoj
• Subsendependeco