Trafleksa punkto

En diferenciala kalkulo, trafleksa punkto aŭ punkto trafleksiĝo estas punkto de kurbo je kiu la kurbeco ŝanĝas signon. Trairante la punkton, la kurbo ŝanĝiĝas de estado konveksa suben (pozitiva kurbeco) al konveksa supren (negativa kurbeco), aŭ reen. Se oni imagas stiradon de veturilo laŭ la kurba vojo, la trafleksa punkto estas la punkto je kiu la stirilo estas momente je rekta pozicio estante turnata de maldekstre al dekstre aŭ reen.

Grafikaĵo de y=x³ kun trafleksa punkto (0, 0), kiu ankaŭ estas sela punkto.

Ĉiu el la jenaj kondiĉoj estas ekvivalenta al la pli supre donita difino:

• Punkto de kurbo je kiu la dua derivaĵo ŝanĝas signon. Ĉi tiu estas tre simila al la antaŭa difino, ĉar la signo de la kurbeco estas ĉiam la sama kiel la signo de la dua derivaĵo, kvankam la kurbeco estas ne la samo kiel la dua derivaĵo.
• Punkto (x, y) de grafikaĵo de funkcio f(x), je kiu la unua derivaĵo f'(x) estas je ekstremumo, kio estas minimumo aŭ maksimumo. Ĉi tio estas ne la samo kiel diraĵo ke y estas je ekstremumo.
• Punkto de kurbo je kiu la tanĝanta rekto krucigas la kurbon je ĉi tiu punkto. Por algebra kurbo, ĉi tio signifas ne singularan punkton kie obleco de la tanĝanta rekto al la kurbo estas pli granda ol 2.

Grafikaĵo de f(x) = sin(2x) de -π/4 al 5π/4. La dua derivaĵo estas f' '(x) = -4sin(2x). Tanĝanto estas blua kie kurbo estas konveksa suben (pli supre de sia tanĝanta rekto, verda kie konveksa supren (pli sube sia tanĝanta rekto), kaj ruĝa je trafleksaj punktoj, kiuj estas 0, π/2 kaj π

Grafikaĵo de y = x⁴-x kun tanĝanta rekto je ne-trafleksa punkto (0, 0).

Pro tio ke en trafleksa punkto la unua derivaĵo estas je sia ekstremumo, do la dua derivaĵo f' '(x) estas egala al nulo se ĝi ekzistas, sed la lasta kondiĉo ne estas sufiĉa por difini ĉu la punkto estas trafleksa. Bezonatas ankaŭ ke la de plej suba ordo ne-nula derivaĵo estu de nepara ordo (tria, kvina, kaj tiel plu). Se la de plej suba ordo ne-nula derivaĵo estas de para ordo, la punkto ne estas trafleksa punkto, ekzemplo de la lasta okazo estas funkcio y = x⁴ je x=0.

Iuj funkcioj ŝanĝas konkavecon ne havante trafleksajn punktojn. Ekzemple, la funkcio 2x²/(x²-1) estas konveksa suben por |x|>1 kaj konveksa supren por |x|<1. Tamen, ĝi ne havas trafleksajn punktojn ĉar 1 kaj -1 estas ne en la domajno de la funkcio.

Klasifiko de trafleksaj punktoj

Ĉiu trafleksa punkto povas ankaŭ esti klasifikita laŭ tio ĉu f'(x) estas nulo aŭ ne nulo.

• se f'(x)=0 do la punkto estas senmova trafleksa punkto, ankaŭ sciata kiel sela punkto;
• se f'(x)≠0 do la punkto estas ne-senmova trafleksa punkto.

Grafikaĵo de y=x³, turnita, kun tanĝanta rekto je trafleksa punkto (0, 0).

Sekvas el la difino ke signo de f'(x) je ĉiu flanko de la trafleksa punkto devas esti la sama. Se ĝi estas pozitiva, la punkto estas pligrandiĝanta trafleksa punkto; se ĝi estas negativa, la punkto estas malpligrandiĝanta trafleksa punkto.

Ekzemplo de senmova trafleksa punkto estas la punkto (0, 0) sur grafikaĵo de funkcio y = x³. La tanĝanta rekto estas la x-akso, kiu krucigas la grafikaĵon je ĉi tiu punkto.

Ne-senmova trafleksa punkto povas esti imagita per tio ke la grafikaĵo de y = x³ estas turnita malmulte ĉirkaŭ la fonto (0, 0). La tanĝanta rekto je la fonto ankoraŭ krucigas la grafikaĵon, sed ĝia inklino estas ne nulo.

Vidu ankaŭ

• Ekstremumo
• Sela punkto
• Krita punkto (matematiko)

Eksteraj ligiloj

• Eric W. Weisstein, Trafleksa punkto en MathWorld.
• Trafleksa punkto en Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, red. Michiel Hazewinkel, ISBN 978-1556080104.
• Trafleksaj punktoj de polinomoj de kvara grado