Ĝemela primo

En matematiko, ĝemelaj primoj estas du primoj, kiuj diferenciĝas inter si je 2. Krom la paro (2, 3), ĉi tio estas la plej malgranda ebla diferenco inter du primoj.

La unuaj ĝemelaj primaj paroj

Estas 35 ĝemelaj primaj paroj pli sube de 1000:

(3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101, 103), (107, 109), (137, 139), (149, 151), (179, 181), (191, 193), (197, 199), (227, 229), (239, 241), (269, 271), (281, 283), (311, 313), (347, 349), (419, 421), (431, 433), (461, 463), (521, 523), (569, 571), (599, 601), (617, 619), (641, 643), (659, 661), (809, 811), (821, 823), (827, 829), (857, 859), (881, 883).

Propraĵoj

La demando ĉu ekzistas malfinie multaj ĝemelaj primoj estas unu el la granda malfermitaj demandoj en nombroteorio por multaj jaroj. La ĝemela prima konjekto estas, ke ekzistas malfinie multaj ĝemelaj primoj. Forta formo de la ĝemela prima konjekto, la konjekto de Hardy-Littlewood, donas distribuan leĝon por ĝemelaj primoj simile al la prima teoremo.

Uzante kribrilajn manierojn, Viggo Brun montris, ke kvanto de ĝemelaj primoj malpli grandaj ol x estas O(x/(log x)²). Ĉi tiu rezulto implicas, ke la malfinia sumo de la inversoj de ĉiuj ĝemelaj primoj konverĝas. Valoro de la sumo estas la konstanto de Brun:

$B_{2}=\left({\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}\right)+\left({\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}\right)+\left({\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}\right)+\left({\frac {1}{17}}+{\frac {1}{19}}\right)+\left({\frac {1}{29}}+{\frac {1}{31}}\right)+\cdots$

La konstanto, ricevita per sumigo laŭ ĉiuj ĝemelaj primoj ĝis 10¹⁶, estas:

B₂ ≈ 1.902160583104

(Vidu ankaŭ en teoremo de Brun). Ĉi tio estas en kontrasto al sumo de inversoj de ĉiuj primoj, kiu malkonverĝas. Li ankaŭ montras, ke ĉiu para nombro povas esti prezentita en malfinie multaj manieroj kiel diferenco de du nombroj ambaŭ havantaj maksimume 9 primajn faktorojn.

Teoremo de Chen Jingrun statas, ke por ĉiu para m estas malfinie multaj primoj p (primoj de Chen) tiaj, ke 'p+'m estas nombro havanta maksimume du primajn faktorojn (primo aŭ duonprimo).

Antaŭ Brun, ankaŭ Jean Merlin (1876-1914) provis solvi ĉi tiu problemon per la kribrila maniero.

Empiria analitiko de ĉiuj primaj paroj supren ĝis 4,35 · 10¹⁵ montras, ke kvanto de ĉi tiaj paroj malpli grandaj ol x estas x·f(x)/(log x)², kie f(x) estas proksimume 1,7 por malgrandaj x kaj malpligrandiĝas al proksimume 1,3, kiam x strebas al malfinio. La limiganta valoro de f(x) estas konjektita al egala du multiplikita je la ĝemela prima konstanto (kiu estas malsama de konstanto de Brun)

$2\prod _{\textstyle {p\;{\rm {primo}} \atop p\geq 3}}\left(1-{\frac {1}{(p-1)^{2}}}\right)=1.3203236\ldots ;$

Ĉi tiu konjekto devus enhavi la ĝemelan priman konjekton, sed restas nesolvita.

Ĉiu ĝemela prima paro pli granda ol 3 estas de formo (6n-1, 6n+1) por iu natura nombro n, kaj escepte de n=1, n devas finiĝi je cifero 0, 2, 3, 5, 7 aŭ 8. Do:

n (6n-1) (6n+1) 1 5 7 2 11 13 3 17 19 5 29 31 7 41 43 10 59 61 12 71 73 17 101 103 18 107 109 23 137 139 25 149 151 30 179 181

n (6n-1) (6n+1) 32 191 193 33 197 199 38 227 229 40 239 241 45 269 271 47 281 283 52 311 313 58 347 349 70 419 421 72 431 433 77 461 463 87 521 523

n (6n-1) (6n+1) 95 569 571 100 599 601 103 617 619 107 641 643 110 659 661 135 809 811 137 821 823 138 827 829 143 857 859 147 881 883 170 1019 1021 172 1031 1033

n (6n-1) (6n+1) 175 1049 1051 177 1061 1063 182 1091 1093 192 1151 1153 205 1229 1231 213 1277 1279 215 1289 1291 217 1301 1303 220 1319 1321 238 1427 1429 242 1451 1453 247 1481 1483

n (6n-1) (6n+1) 248 1487 1489 268 1607 1609 270 1619 1621 278 1667 1669 283 1697 1699 287 1721 1723 298 1787 1789 312 1871 1873 313 1877 1879 322 1931 1933 325 1949 1951 333 1997 1999

Estas pruvita, ke paro m, m+2 estas ĝemelaj primoj, se kaj nur se

$4((m-1)!+1)\equiv -m{\pmod {m(m+2)}}.$ (Clement 1949).

Ĉiu tria nepara nombro pli granda ol sep estas dividebla per 3, tiel 5 estas la sola primo, kiu estas parto de la du paroj. Alivorte, ne ekzistas m tia, ke ĉiu el m, m+2, m+4 estas primo kaj m>3.

Tiel, se m, m+2 estas primoj kaj ankaŭ m-4 aŭ m+6 estas primo, tiam la 3 primoj estas la prima trio.

Konjekto de Polignac de 1849 statas, ke por ĉiu para natura nombro k, estas malfinie multaj primaj paroj p kaj q tiaj, ke p−q=k. La okazo k=2 estas la ĝemela prima konjekto. La okazo k=4 respektivas al kuzaj primoj kaj la okazo k =6 al sensaj primoj. La konjekto ne estas pruvita aŭ malpruvita por iu valoro de k.

Plej grandaj sciataj ĝemelaj primoj

Por la 15-a de januaro de 2007, du distribuita komputadaj projektoj de serĉo de ĝemelaj primo trovis la plej grandajn sciatajn ĝemelaj primojn 2003663613 · 2¹⁹⁵⁰⁰⁰ ± 1. La nombroj havas po 58711 dekumajn ciferojn.

Vidu ankaŭ

• Prima k-opo
• Prima kvaropo
• Prima kvinopo
• Faktorialo
• Modula aritmetiko

Eksteraj ligiloj

• Eric W. Weisstein, Ĝemelaj primoj en MathWorld.
• Enkonduko al ĝemelaj primoj kaj konstanto de Brun de Xavier Gourdon kaj Pascal Sebah
• Supraj 20 ĝemelaj primoj) je la primaj paĝoj de Chris Caldwell.
• [1] la 58711-cifera ĝemela prima rikordo