Ambaŭflanka laplaca transformo

Ambaŭflanka laplaca transformo estas integrala transformo, ligita kun la furiera transformo, la transformo de Mellin kaj kun la kutima laplaca transformo.

Priskribo

Se $f(x)$ estas reela aŭ kompleksa funkcio de reela variablo $t\in R$, do ambaŭflanka laplaca transformo ${\mathcal {B}}\left\{f(t)\right\}$ rezultas je la jena formulo:

${\mathcal {B}}\left\{f(t)\right\}=F(s)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt.$

La integralo en tiu integro subkomprenas malpropran kaj konverĝan tiam, kiam ekzistas: $\left\{{\begin{matrix}\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt\\\\\int _{-\infty }^{0}e^{-st}f(t)\,dt\end{matrix}}\right.$

Kelkfoje tiaj integraloj skribeblas kiel:

${\mathcal {T}}\left\{f(t)\right\}=s{\mathcal {B}}\left\{f\right\}=sF(s)=s\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt.$

En ĝenerala okazo la variablo $t$ povas esti kompleksa variablo.

Rilato kun aliaj integralaj transformoj

• Se $u(t)$ estas funkcio de Hevisajde, de normala laplaca transformo ${\mathcal {L}}$, ĝi povas esprimi pere de ambaŭflanka transformo kiel:

${\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}={\mathcal {B}}\left\{f(t)u(t)\right\}.$

Kaj reen:

$\left\{{\mathcal {B}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {L}}f(t)\right\}(s)+\left\{{\mathcal {L}}f(-t)\right\}(-s).$

• Transformo de Mellin povas esprimi pere de ambaŭflanka transformo kiel:

$\left\{{\mathcal {M}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {B}}f(e^{-x})\right\}(s)$

Kaj reen:

$\left\{{\mathcal {B}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {M}}f(-\ln x)\right\}(s).$

• Furiera transformo povas esprimi pere de ambaŭflanka transformom kiel:

$\left\{{\mathcal {B}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {F}}f\right\}(-is).$

Atributoj

Atributoj de Laplaca transformo

	Tempa regiono	Unuflanka regiono	Ambaŭflnka regiono
Unua derivaĵo	$f'(t)\$	$sF(s)-f(0)\$	$sF(s)\$
Dua derivaĵo	$f''(t)\$	$s^{2}F(s)-sf(0)-f'(0)\$	$s^{2}F(s)\$

Literaturo

• LePage, Wilbur R., Complex Variables and the Laplace Transform for Engineers, Dover Publications, 1980
• Van der Pol, Balthasar, and Bremmer, H., Operational Calculus Based on the Two-Sided Laplace Integral, Chelsea Pub. Co., 3rd edition, 1987