Laplaca transformo

integrala transformo
Matematikaj funkcioj
Fonto-aro, Celo-aro, Bildo, Prabildo
Fundamentaj funkcioj
algebraj funkcioj:
konstantalinearakvadratapolinomaracionalaTransformo de Möbius
ceteraj funkcioj:
trigonometriajinversa trigonometriahiperbolaeksponentalogaritmapotenca
Specialaj funkcioj
eraraβΓζηW de Lambertde Bessel
Nombroteoriaj funkcioj:
τσde Möbiusφπλ
Ecoj:
pareco kaj malparecomonotonecobaritecoperiodecodisĵetecosurĵetecodissurĵeteco
kontinuecoderivaĵecointegralebleco

En matematiko, la laplaca transformo estas pova teĥniko por analizi linearajn tempo-invariantajn linearajn sistemojn kiel elektrajn cirkvitojn, harmonajn oscilojn, optikajn aparatojn, kaj mekanikajn sistemojn, inter kelkaj aliaj. Sufiĉas transformi diferencialan ekvacion en la Laplacan domajnon por akiri ekvaciojn multe pli facile manipuleblajn. Donanta simplan matematikan funkcionalon priskribon de enigo aŭ eligo de la sistemo, la Laplaca transformo provizas alternativan priskribon, kiu ofte simpligas la procezon de la analizata konduto de la sistemo, aŭ ankoraŭ permesas sintezon de nova sistemo bazita sur aro da specifaĵoj.

La Laplaca transformo estas grava koncepto de la branĉo de matematiko nomita funkcionala analitiko.

La Laplaca transformo havas multajn gravajn aplikojn en fiziko, optiko, elektra inĝenierarto, aŭtomatigita regado, signal-prilaborado, kaj teorio de probabloj.

La termino laplaca transformo estas honore al franca matematikisto kaj astronomo Pierre-Simon Laplace, kiu uzis tiun transformon dum sia laboro pri la teorio de probablo, sed la eltrovo originis de svisa matematikisto Leonhard Euler. La transformo de Laplace aperas en ĉiuj kampoj de la matematika fiziko: esplorkampo al kiu Laplace kontribuis altmaniere.

Formala difinoRedakti

En matematiko kaj aparte en analitiko, la Laplaca transformo (aŭ transformo de Laplace) (simbolata  ) de funkcio   dependanta de pozitiva reela variablo t ≥ 0 estas la funkcio   de la kompleksa variablo s, difinita per:

 

La limsigno   estas mallonga skribmaniero de meznombro :  kaj certigas la inkluzivecon de la tuta Diraka delta funkcio   je 0 se estas tia impulso en f(t) je 0.

La parametro s estas kompleksa nombro:

  , kie σ kaj ω estas reelaj nombroj.

Tiu Laplaca transformo estas ankaŭ nomita unuflanka transformo de Laplace, ĉar la integralo koncernas nur pozitivan variablon, kontraŭe al la ambaŭflanka laplaca transformo, pri kiu la reela variablo ne estas limigita al nulo.

La proprecoj de tiu transformo eksplikas kial ĝi estas tiom utila por la analizoj de linearaj dinamikaj sistemoj. La plej interesa propreco estas, ke la malderivaĵo kaj la derivaĵo estas transformataj respektive je divido kaj multipliko per s, sammaniere ke logaritmo transformas multiplikon al adicio. Tiel ĝi permesas solvon de linearaj diferencialaj ekvacioj kun konstantaj koeficientoj per solvo de ekvacioj kun racionalaj funkcioj (t.e. rilatumo de polinomoj) de s).

Rimarko: dum la indikaĵo "s" (Laplaca variablo) estas komune uzata en multaj landoj, la notaĵo "p" estas ankaŭ uzata alie, aparte en Francio kaj Germanio.

Oni difinas ankaŭ la transformon de Laplace-Carson per [1] :

  kio permesas ligi al ĉiu funkcio de variablo   tian bildan funkcion   .

Tia transformo estas prefere uzata de inĝenieroj, ĉar :

  • konstanto havas saman konstanton kiel laplacan bildon;
  • la unuoj estas konservitaj (samaj antaŭ kaj post transformo);
  • pli granda facileco dum matrica kaj tensora kalkulo.

Regiono de konverĝoRedakti

La Laplaca transformo F(s) tipe ekzistas por ĉiuj kompleksaj nombroj pri kiuj Re{s} > a, kie a estas reela konstanto, kiu dependas de la kreska konduto de f(t), dum la ambaŭflanka transformo estas difinita per du limoj a < Re{s} < b. La subaro de valoroj de s, por kiu la Laplaca transformo ekzistas, estas nomita la regiono de konverĝo, aŭ la domajno de konverĝo. Pri la duflanka kazo, ĝi estas iam nomita la bendo de konverĝo.

Estas ne specifaj kondiĉoj, kiuj povas sciigii totale ĉu Laplaca transformo de ia funkcio povas esti prenita, oni nur povas diri ĉu la difinanta integralo konverĝas. Estas tamen teoremoj por sciigi ĉu oni povas aŭ ne povas uzi ĝin.

Inversa Laplaca transformoRedakti

La inversa Laplaca transformo estas la transformo de Mellin (aŭ foje nomita integralo de Bromwich}, kiu permesas retrovi tempan funkcion de Laplaca transformo; ĝi estas integralo en la kompleksa ebeno donata per:

 

kie   estas reela nombro, tiel ke la konturo de integralado estas en la regiono de konverĝo de   kaj tiel ke   por ĉiu singulareco   de   kaj  . Se ĉiuj nekontinuaĵoj) estas en la maldekstra duonebeno, tio estas   por ĉiu  , tiam   povas esti aro de nuloj, kaj la pli supre inversa integrala formulo pli supre iĝas identa al la inversa transformo de Fourier.

kie   estas elektita por ke la integralo konverĝu, kio implicas ke   estu pli granda ol la reela parto de iu ajn neordinaraĵo de F(s).

Praktike, pri ĝeneralaj kazoj, oni alproksimigas formulojn en la Laplaca universo, kie troviĝas konataj formuloj por uzi la tabelon de inversaj transformoj.

Duflanka Laplaca transformoRedakti

Kiam oni parolas pri "la Laplaca transformo" sen plia klarigo, la unuflanka transformo estas normale intencita. La Laplaca transformo povas esti alternative difinita kiel la ambaŭflanka Laplaca transformoduflanka Laplaca transformo per etenditaj limoj de integralado laŭ la tuta reela akso. Se tio estas farita, la komuna unuflanka transformo simple iĝas speciala kazo de la ambaŭflanka transformo, kie la funkcio estas multiplikita per la Hevisida ŝtupara funkcio ("funkcio de Heaviside").

Do la ambaŭflanka trasformo de Laplace estas aparta formo de la laplaca transformo, en kiu la integraĵo komenciĝas de minus infinito anstataŭ de nulo :

 

Ĝia propreco estas simpligi matematikajn rezonojn, por komplementaj antaŭzorgoj, ĉar ĝi konverĝas nur kiam la funkcio malkreskas rapide (t.e. pli rapide ol eksponenta malkresko) ĝis nulo pri negativaj abscisaj valoroj.

Ĝi estas uzata interalie de aŭtomatikistoj [2] kaj ankaŭ uzata en statistiko, kie ĝi helpas difini la probablajn distribuojn.

Laplaca transformo de derivita funkcioRedakti

Estas oftoportune uzi la diferencialadan proprecon de la Laplaca transformo por trovi la transformon de derivita funkcio. Pri la unuflanka kazo, ĉi tiu rilato estas:

 

kaj pri la ambaŭflanka kazo, ni havas:

 

AplikojRedakti

La transformo de Laplace estas ofte uzata en inĝenierado kaj fiziko por solvi diferencialajn ekvaciojn, kaj determini la transfaran funkcion de lineara sistemo. Ekzemple, en elektroniko, kontraŭe al la transformo de Fourier, kiu estas uzata por determini la frekvencan spektron de perioda signalo, ĝi traktas la ekfariĝan reĝimon, kiu okazas antaŭ la permanenta reĝimo (ekzemple: reago de signalo antaŭ kaj post la ŝalto de frekvenco-generatoro).

Jenoj ekzemploj derivitaj de aplikoj en fiziko kaj inĝenierado uzos la sistemon internacian de mezurunuoj . Sistemo Internacia de Unuoj estas bazita sur metroj por distanco, kilogramoj por maso, sekundoj por tempo, kaj amperoj por elektra kurento.

Ekzemplo #1: Solvante diferencialan ekvacionRedakti

Ekzemplo #2: Derivante la kompleksan impedancon por kondensatoroRedakti

Ekzemplo #3: Trovante la tradonan funkcion de impulsa respondoRedakti

Interrilato al aliaj transformojRedakti

Transformo de FourierRedakti

  Pli detalaj informoj troveblas en artikolo Furiera transformo.

La kontinua furiera transformo estas ekvivalento al la ambaŭflanka Laplaca transformo kun kompleksa argumento  :

 
 
 

Notu ke ĉi tiu esprimo ekskludas la skalantan faktoron  , kiu estas ofte inkluzivita en difinoj de la transformo de Fourier.

Ĉi tiu interrilato inter la Laplaca kaj Furiera transformoj estas ofte kutima kaj permesas difini la frekvencan spektron de signalo aŭ de lineara dinamika sistemo.

Transformo de MellinRedakti

  Pli detalaj informoj troveblas en artikolo Transformo de Mellin.

Z-transformoRedakti

La Z-transformo estas simple la Laplaca transformo de ideale specimenita signalo (el kiu rezultas la tiele nomitaj specimenojsamploj) kun la anstataŭo per z de la eksponenta funkcio

 

kie   estas la specimenara periodo en unuoj de tempo (ekz. sekundoj) kaj   estas la specimenara frekvenco (en specimenoj je sekundo aŭ hercoj)

Konsideru ni

 

specimenaran impulso-trajnon (ankaŭ nomitan Diraka kombilo, kie   estas la diraka delta funkcio) kaj

 
 

specimenaran prezenton de kontinua-tempa funkcio  , sekvas ke

  estas la diskretaj specimenoj de  .

La Laplaca transformo de la specimenita signalo   estas

 
 
 
 

Ĉi tiu estas precize la difino de la Z-transformo de la diskreta funkcio  

 

kun la anstataŭo de  .

Komparante la lastajn du ekvaciojn, ni trovas la interrilaton inter la Z-transformo kaj la Laplaca transformo de la specimenita signalo:

 .

Borela transformoRedakti

  Pli detalaj informoj troveblas en artikolo Sumado de Borel.

Fundamentaj interrilatojRedakti

Proprecoj kaj teoremojRedakti

LinearecoRedakti

 

DerivaĵoRedakti

Kalkulu ni:

 

Per poparta integralado oni obtenas :

 

finfine per post sekvantaj derivaĵoj :

 
 
kaj pli ĝenerale:
 

Frekvenca dividoRedakti

 

kaj pri sekvantaj obloj de t:

 

Frekvenca integraloRedakti

 

IntegraladoRedakti

 
 

Skalanta faktoroRedakti

 

Teoremo de la fina valoroRedakti

Se limo estas en la tempa domajno, tiam :

 
La fina valora teoremo estas utila, ĉar ĝi donas la longtempan konduton sen bezono de parta frakcio aŭ de alia malfacila algebro.

Teoremo de la komenca valoroRedakti

Si limo estas al la momento t=0 en la tempa domajno, tiam :

 

Frekvenca ŝovoRedakti

 
 

Tempa ŝovoRedakti

 
 
Notu:   estas la Hevisida ŝtupara funkcio (funkcio de unuvalora ŝtupo).
  • Pri la  -a potenco
 

KunfaldaĵoRedakti

 

Oni devas esti atenta pri sistemoj al kiuj estas difinitaj la funkcioj   et  . Fakte, la kunfaldaĵo kaj la laplaca transformo imponas kondiĉojn ne ĉiam kongruantajn. Pli simple, estas difini ilin sur  , kaj multipli ilin antaŭe per la funkcio .

Perioda funkcio de periodo  Redakti

 
  • Oni povas demonstri la formulon tiamaniere:
 
 
 

oni grupigas la termojn :

 

tial,  

Tabelo de kelkaj kutimaj Laplacaj transformojRedakti

La transformo de Laplace validas nur pri valoroj de t pli granda ol 0, estas kial ĉiuj funkcioj de la sekvanta tabelo estas oblo de u(t) , funkcio de Heaviside (nekontinua funkcio kies valoro estas nul por negativa argumento, kaj unu por pozitiva argumento).

Funkcio Tempa domajno
 
Laplaca transformo
 
Regiono de konverĝo
1 ideala malfruo    
1a unuo-impulso      
2 n-a potenco de malfruo kun frekvenca ŝovo      
2a n-a potenco
( n entjero )
     
2a.1 q-a potenco
( q komplekso )
     
2a.2 funkcio de Heaviside (unuvalora ŝtupo)      
2b malfruigita ŝtupo      
2c deklivo      
2d malfruo kun frekvenca ŝovo      
2d.1 eksponenta malkresko      
3 eksponenta asimptotiĝo      
4 sinuso      
5 kosinuso      
6 hiperbola sinuso      
7 hiperbola kosinuso      
8 eksponenta malkresko
de sinusa ondo
     
9 eksponenta malkresko
de kosinusa ondo
     
10 n-a radiko      
11 natura logaritmo      
12 Funkcio de Bessel
de unua speco,
pri ordo n
     
 
13 Aliigita funkcio de Bessel
de unua speco,
pri ordo n
     
14 Funkcio de eraro      
Notes:
  •   estas la funkcio de Heaviside (unuvalora ŝtupo-funkcio).
  •   estas la funkcio de Dirac (unuobla impulsa funkcio).
  •   est la Gamo-funkcio.
  •   est la konstanto de Eŭlero-Mascheroni.
  •  , estas reela nombro kiu ĝenerale reprezentas la tempon,
    sed povas signifi iun ajn alian kvanton.
  •   estas kompleksa nombro.
  •  ,  ,  , et   estas reelaj nombroj.
  •   estas entjero.


ReferencojRedakti

  1. M. Denis-Papin et A. Kaufmann, Cours de calcul opérationnel appliqué (Kurso pri aplikata kalkulado), Eldonaro Albin Michel, Parizo, 1967 (france)
  2. Raymond Hanus & Philippe Bogaerts, Introduction à l'automatique (Enduko al aŭtomatiko) - vol 1. Kontinuaj sistemoj, Universitato De Boek , 1996 (france)
  • A. Don/Doña _Polyanin kaj A. V. Manzhirov, Gvidlibro de Integralaj Ekvacioj, CRC Premi, Boca Raton_, (1998, Kategorio:1998). ISBN 0-8493-2876-4
  • Vilhelmo _McC. Siebert, Cirkvitoj, Signaloj, kaj Sistemoj, MIT Premi, Kembriĝo (Masaĉuseco), (1986, Kategorio:1986). ISBN 0-262-19229-2

Vidu ankaŭRedakti

Eksteraj ligilojRedakti