Γ-funkcio

En matematiko, Γ-funkcio aŭ gamo-funkcio estas funkcio kies argumento kaj valoro estas reelaj aŭ kompleksaj nombroj. Por kompleksa nombro z kun pozitiva reela parto ĝi estas difinita kiel

Γ funkcio de reela variablo

Γ funkcio de kompleksa variablo

Absoluta valoro de Γ funkcio de kompleksa variablo

$\Gamma \colon z\mapsto \int _{0}^{+\infty }t^{z-1}\mathrm {e} ^{-t}\,\mathrm {d} t$

kiu povas esti etendita al la tuta kompleksa ebeno escepte de la nepozitivaj entjeroj (0, −1, −2, −3, …).

Γ funkcio estas vastigaĵo de la faktorialo. Se n estas nenegativa entjero (0, 1, 2, 3, …), tiam

Γ(n+1) = n!

Aŭ ekvivalente se n estas pozitiva entjero (1, 2, 3, 4, …), tiam

Γ(n) = (n−1)!

Γ funkcio estas skribata per greka majuskla litero gamo. La skribmaniero Γ(z) estas de Adrien-Marie Legendre.

La Gama funkcio estas komponanto en diversaj probablo-distribuaj funkcioj, kaj kiel tia ĝi estas uzata en probabloteorio, statistiko kaj kombinatoriko.

Propraĵoj

Se la reela parto de la kompleksa nombro z estas pozitiva, Re(z) > 0, integralo, kiu estas eŭlera integralo de la dua speco,

$\Gamma (z)=\int _{0}^{+\infty }t^{z-1}\mathrm {e} ^{-t}\,\mathrm {d} t$

konverĝas absolute. Per poparta integralado, eblas montri ke

Γ(z+1) = z Γ(z)

Ĉi tio respektivas al egaleco n! = n (n−1)!

Valoron Γ(1) eblas kalkuli analitike:

$\Gamma (1)=\int _{0}^{+\infty }\mathrm {e} ^{-t}\,\mathrm {d} t=\lim _{k\to +\infty }\left[-\mathrm {e} ^{-t}\right]_{0}^{k}=-0-(-1)=1$

El ĉi tio kaj tio ke 0! = 1 sekvas la egaleco

Γ(n+1) = n!

por ĉiuj nenegativaj entjeroj n. Tiel la valoroj de Γ funkcio estas:

Γ(1) = 1 = 0!

Γ(2) = Γ(1+1) = 1 Γ(1) = 1

Γ(3) = Γ(2+1) = 2 Γ(2) = 2 · 1 = 2 = 2!

Γ(4) = Γ(3+1) = 3 Γ(3) = 3 · 2 = 6 = 3!

Γ(5) = Γ(4+1) = 4 Γ(4) = 4 · 6 = 24 = 4!

Γ(6) = Γ(5+1) = 5 Γ(5) = 5 · 24 = 120 = 5!

Γ(7) = Γ(6+1) = 6 Γ(6) = 6 · 120 = 720 = 6!

…

Pruvo de tio ke Γ(z+1) = z Γ(z):

${\begin{aligned}\Gamma (z+1)&=\int _{0}^{+\infty }t^{z+1-1}\mathrm {e} ^{-t}\,\mathrm {d} t\\&=\int _{0}^{+\infty }t^{z}\mathrm {e} ^{-t}\,\mathrm {d} t\\\end{aligned}}$

kaj per poparta integralado:

${\begin{aligned}&=\left[t^{z}{\frac {1}{\ln(\mathrm {e} ^{-1})}}(\mathrm {e} ^{-1})^{t}\right]_{0}^{+\infty }+\int _{0}^{+\infty }zt^{z-1}\mathrm {e} ^{-t}\,\mathrm {d} t\\&=\underbrace {\left[-t^{z}\mathrm {e} ^{-t}\right]_{0}^{+\infty }} _{=0-0}+\int _{0}^{+\infty }zt^{z-1}\mathrm {e} ^{-t}\,\mathrm {d} t\\&=z\int _{0}^{+\infty }t^{z-1}\mathrm {e} ^{-t}\,\mathrm {d} t\\&=z\Gamma (z)\end{aligned}}$

Ĉiu el jenaj malfiniaj produtoj povas esti konsiderata kiel alternativa difino de Γ funkcio. Ili estas validaj por ĉiuj kompleksaj nombroj z krom nepozitivaj entjeroj. Ili estas de Leonhard Euler kaj Karl Weierstrass respektive.

$\Gamma (z)=\lim _{n\to \infty }{\frac {n!\;n^{z}}{z\;(z+1)\dots (z+n)}}={\frac {1}{z}}\prod _{n=1}^{+\infty }{\frac {(1+{\frac {1}{n}})^{z}}{1+{\frac {z}{n}}}}$

$\Gamma (z)={\frac {\mathrm {e} ^{-\gamma z}}{z}}\prod _{n=1}^{+\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{-1}\mathrm {e} ^{z/n}$

kie γ estas la konstanto de Eŭlero-Mascheroni.

La reflekta formulo (eŭlera reflekta formulo) por Γ funkcio estas:

$\Gamma (1-z)\,\Gamma (z)={\frac {\pi }{\sin(\pi z)}}$

La multiplika teoremo por Γ funkcio estas

$\Gamma (z)\,\Gamma \left(z+{\frac {1}{m}}\right)\,\Gamma \left(z+{\frac {2}{m}}\right)\dots \Gamma \left(z+{\frac {m-1}{m}}\right)=(2\pi )^{(m-1)/2}\,m^{1/2-mz}\,\Gamma (mz)$

La duopiga formulo estas okazo de la multiplika teoremo kun m-2:

$\Gamma (z)\,\Gamma \left(z+{\frac {1}{2}}\right)=2^{1-2z}\,{\sqrt {\pi }}\,\Gamma (2z)$

Konata valoro de Γ funkcio je ne-entjera argumento estas

$\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}$

kio sekvas el la reflekta aŭ duopiga formuloj per preno de z = ½.

Ĝenerale, por neparaj entjeraj valoroj de n estas:

$\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)={\sqrt {\pi }}\,{\frac {n!!}{2^{(n+1)/2}}}$

kie n !! estas la duopa faktorialo:

n !! := n·(n−2)·(n−4)· … ·6·4·2 se n estas para pozitiva (la okazo ne estadas en la formulo por Γ funkcio);

n !! := n·(n−2)·(n−4)· … ·5·3·1 se n estas nepara pozitiva;

n !! := 1 /( (n+2)·(n+4)· … ·(−3)·(−1) ) se n estas nepara negativa.

Tiel:

$\Gamma (-5/2)=-{\frac {8{\sqrt {\pi }}}{15}}\approx -0,9453087204829$

$\Gamma (-3/2)={\frac {4{\sqrt {\pi }}}{3}}\approx 2,3632718012074$

$\Gamma (-1/2)=-2{\sqrt {\pi }}\approx -3,5449077018110$

$\Gamma (1/2)={\sqrt {\pi }}\approx 1,7724538509055$

$\Gamma (3/2)={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}\approx 0,8862269254528$

$\Gamma (5/2)={\frac {3{\sqrt {\pi }}}{4}}\approx 1,3293403881791$

$\Gamma (7/2)={\frac {15{\sqrt {\pi }}}{8}}\approx 3,3233509704478$

La n-a derivaĵo de Γ funkcio estas:

${\frac {\mathrm {d} ^{n}\,\Gamma }{\mathrm {d} x^{n}}}\colon x\mapsto \int _{0}^{+\infty }t^{x-1}\mathrm {e} ^{-t}(\ln \,t)^{n}\,\mathrm {d} t$

La derivaĵo de logaritmo de Γ funkcio estas la dugama funkcio; pli altaj derivaĵoj estas la plurgamaj funkcioj.

La derivaĵo de Γ funkcio povas esti esprimita per plurgama funkcio:

$\Gamma '\colon z\mapsto \Gamma (z)\psi _{0}(z)$

Γ funkcio ne havas nulojn.

Γ funkcio havas polusojn de ordo 1 je ĉiuj nepozitivaj entjeraj z (0, −1, −2, −3, …). La restaĵoj estas

$\operatorname {Res} (\Gamma ,-n)={\frac {(-1)^{n}}{n!}}$

Γ funkcio de kompleksa konjugito estas kompleksa konjugito de Γ funkcio:

${\overline {\Gamma (z)}}=\Gamma ({\overline {z}})$

La teoremo de Bohr-Mollerup statas ke inter ĉiuj funkcioj etendantaj la faktorialon al pozitivaj reelaj nombroj, funkcio $x\mapsto \Gamma (x+1)$ estas la sola funkcio kiu estas log-konveksa, kio estas, ĝia natura logaritmo estas konveksa funkcio.

Π funkcio kaj π funkcio

Absoluta valoro kaj argumento de Π funkcio de kompleksa variablo, Π(x+iy)=ρe^iφ

Alternativa skribmaniero kiu estas originale de Gaŭso kaj kiu estas iam uzita estas la Π funkcio:

Π(z) = Γ(z+1) = zΓ(z)

Π(n) = n!

La reflekta formulo kun la Π funkcio estas:

$\Pi (z)\;\Pi (-z)={\frac {\pi z}{\sin(\pi z)}}={\frac {1}{\operatorname {sinc} (z)}}$

kie sinc estas la ununormigita sinc funkcio.

La multiplika teoremo povas esti skribita kun la Π funkcio kiel per alpreno de w=mz-1:

$\Pi \left({\frac {w}{m}}\right)\,\Pi \left({\frac {w-1}{m}}\right)\cdots \Pi \left({\frac {w-m+1}{m}}\right)=\left({\frac {(2\pi )^{m}}{2\pi m}}\right)^{1/2}\,m^{-w}\,\Pi (w)$

Funkcio π(z) estas difinita kiel:

$\pi (z)={\frac {1}{\Pi (z)}}$

π(z) estas tuta funkcio (difinita por ĉiu kompleksa nombro), ĝi ne havas polusojn respektive al tio ke Π(z) kaj Γ(z) ne havas nulojn.

Aliaj funkcioj

• En la integralo kiu difinas la Γ funkcion, la limigoj de integralado estas fiksitaj. La supra kaj suba neplenaj Gamaj funkcioj estas la funkcioj ricevitaj per permeso la suba aŭ supra respektive limigo de integralado variiĝi.

La Beta funkcio estas rilatanta al la Γ funkcio:

$\mathrm {B} (x,y)={\frac {\Gamma (x)\;\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}$

Γ funkcio estas rilatanta kun la rimana zeta funkcio ζ(z):

$\pi ^{-z/2}\;\Gamma \left({\frac {z}{2}}\right)\zeta (z)=\pi ^{-{\frac {1-z}{2}}}\;\Gamma \left({\frac {1-z}{2}}\right)\;\zeta (1-z)$

$\zeta (z)\;\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }{\frac {u^{z-1}}{e^{u}-1}}\;\mathrm {d} u$ por Re(z) > 1

Derivaĵo de ne entjera ordo

La n-a derivaĵo de ax^b por entjera n estas:

${\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(ax^{b}\right)=\left(b-n+1\right)\cdots \left(b-2\right)\left(b-1\right)bax^{b-n}={\frac {b!}{\left(b-n\right)!}}ax^{b-n}$

Pro tio ke n! = Γ(n+1):

${\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(ax^{b}\right)={\frac {\Gamma \left(b+1\right)}{\Gamma \left(b-n+1\right)}}ax^{b-n}$

kio validas ankaŭ por ne entjeraj n

Tiel ekzemple (konsiderante ke c = c x⁰):

${\frac {d^{\frac {1}{2}}}{dx^{\frac {1}{2}}}}\left(x\right)={\frac {2{\sqrt {x}}}{\sqrt {\pi }}}$

${\frac {d^{\frac {1}{2}}}{dx^{\frac {1}{2}}}}\left(x^{2}\right)={\frac {8{\sqrt {x^{3}}}}{3{\sqrt {\pi }}}}$

${\frac {d^{\frac {1}{2}}}{dx^{\frac {1}{2}}}}\left(c\right)={\frac {c}{{\sqrt {\pi }}{\sqrt {x}}}}$

Komputado

Per formulo Γ(z+1) = z Γ(z) eblas de problemo de komputo de Γ(z) kun ajna z trairi al problemo de komputo de Γ(z) por z tia ke Re(z) estas en la intervalo [1, 2].

Per poparta integralado de la integralo en la difino, Γ funkcio povas esti skribita kiel

$\Gamma (z)=x^{z}e^{-x}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{z(z+1)\cdots (z+n)}}+\int _{x}^{\infty }e^{-t}t^{z-1}\mathrm {d} t$

Se 1≤Re(z)≤2, la lasta integralo estas pli malgranda ol x e^−x. Por komputo kun N bitoj de precizeco x povas esti elektita tiel ke x e^−x < 2^−N. Tiam Γ(z) povas esti komputita kun N bitoj de precizeco per la serio donita pli supre.

Jen estas ekzempla programo por komputado de Γ funkcio per la maniero. Ĉi tie z estas argumento de la Γ funkcio, x estas la valoro pli supre priskribita, m estas prenata kvanto de eroj de la malfinia sumo. Por 14 dekumaj ciferoj de precizeco sufiĉas x=40, m=101.

def gamo(z,x,m):

    k=1.0

    while z>2.0:
        z-=1.0
        k*=z
    while z<1.0:
        k/=z
        z+=1.0

    k*=exp(log(x)*z)*exp(-x)

    s=0.0
    p=1.0/z
    n=0
    while n<m:
        s+=p
        n+=1
        p=p*x/(z+n)

    return s*k

Se z estas racionala, kalkulado per la maniero povas esti plenumita kun duuma forkiĝo en tempo O( (log(N)² M(N) ) kie M(N) estas la tempo bezonata por multipliki du N-bitajn nombroj.

Por argumentoj kiuj estas entjeraj obloj de 1/24 la Γ funkcio povas ankaŭ esti komputita rapide per iteracioj de aritmetiko-geometria meznombro, vidu en apartaj valoroj de Γ funkcio.

Ekzistas ankaŭ proksimuma kalkulado de Lanczos kaj proksimuma kalkulado de Stirling por Γ funkcio.

Ĉar Γ funkcio kreskas tre rapide, ofte oni komputas la naturan logaritmon de Γ funkcio (ofte kun nomo lngamma).

Vidu ankaŭ

• Apartaj valoroj de Γ funkcio
• Faktorialo
• Inverso Γ funkcio
• Beta funkcio
• Teoremo de Bohr-Mollerup
• Dugama funkcio
• Plurgama funkcio
• Gama distribuo
• Gaŭsa konstanto
• Neplena Γ funkcio
• Multvariabla Γ funkcio
• Elipsa Γ funkcio
• Proksimuma kalkulado de Lanczos
• Proksimuma kalkulado de Stirling

Eksteraj ligiloj

• Eric W. Weisstein, Gama funkcio en MathWorld.
• Pascal Sebah kaj Xavier Gourdon. Enkonduko al Γ funkcio. PostSkripto HTML
• [1] Arkivigite je 2008-06-10 per la retarkivo Wayback Machine Richard A. Askey kaj R. Roy, DLMF artikolo pri Γ funkcio.
• (Vidu en ĉapitro 6) Milton Abramowitz kaj Irene A. Stegun. Gvidlibro pri matematikaj funkcioj.
• Grafikaĵoj Arkivigite je 2010-11-30 per la retarkivo Wayback Machine
• [2] Arkivigite je 2016-10-02 per la retarkivo Wayback Machine Ekzemploj de problemoj kun la Γ funkcio
• Volumeno de n-sfero kaj Γ funkcio Arkivigite je 2008-05-09 per la retarkivo Wayback Machine je MathPages
• Cephes - biblioteko de specialaj funkcioj en lingvoj C kaj C++
• Komputado de Γ funkcio
• Kalkulilo de Γ funkcio Arkivigite je 2010-09-24 per la retarkivo Wayback Machine
• Kalkulilo de Γ funkcio (ajna precizeco)
• [3] Arkivigite je 2006-06-30 per la retarkivo Wayback Machine Bruno Haible kaj Thomas Papanikolaou. Rapida multprecizeca komputo de serio de racionalaj nombroj. Teknika Raporto Ne. TI-7/97, Universitato de Teknologio de Darmstadt, 1997