Simpla vibra movo

En fiziko, simpla vibra movo aŭ Harmona oscilo estas sistemo kiu, kiam formovita de ĝia egalpeza pozicio, spertas reagan forton F proporcian kun la delokiĝo x:

F = -kx

kie k estas pozitiva konstanto.

Se F estas la nura forto aganta sur la sistemo, la sistemo estas simpla harmona oscilo, kaj ĝi post komenca ekscito (delokigo) havas sinusajn osciladojn ĉirkaŭ la egalpeza punkto, kun konstantaj amplitudo kaj frekvenco, la frekvenco ne dependas de la amplitudo.

Se ankaŭ frota forto (amortizado) proporcie kun la rapido estas, la harmona oscilo estas amortizita. En tia situacio, la frekvenco de la osciladoj estas pli malgranda ol en la ne-amortizita okazo, amplitudo de la osciladoj malpligrandiĝas kun tempo.

Se ekstera tempo-dependa forto estas, la harmona oscilo estas gvidata, oni nomas ĝin trudata oscilo.

Ĉi tiu artikolo diskutas la harmonan oscilon per klasika mekaniko. Vidi la artikolon kvantuma harmona oscilo por diskuto de la harmona oscilo en kvantummekaniko.

Simpla harmona oscilo

La supra kurbo estas la pozicio de la oscililo laŭ la tempo.
La meza kurbo estas la rapido de la movo.
La subaj kurboj estas pri la energioj: la blua estas la kineta energio $\scriptstyle {{1 \over 2}mv^{2}}$ kaj la ruĝa estas la potenciala energio $\scriptstyle {{1 \over 2}ky^{2}}$.

.

Ĉe la simpla harmona oscilo forto estas nur

F = -kx

Uzante neŭtonan duan leĝon

F = ma = -kx

la akcelo "a" estas la dua derivaĵo de x (dum la rapido "v" estas ĝia unua derivaĵo).

$m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-kx$

Se oni difinas ${\omega _{0}}^{2}=k/m$, tiam la ekvacio povas esti skribita kiel

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+{\omega _{0}}^{2}x=0\ ,$

kaj havas la ĝeneralan solvaĵon

$x=A\cos(\omega _{0}t+\phi )\$

kie la amplitudo A kaj la fazo φ estas difinitaj per la komencaj kondiĉoj.

Alternative, la ĝenerala solvaĵo povas esti skribita kiel

$x=A\sin {(\omega _{0}t+\phi )}\,,$

kie la valoro de φ estas ŝovita je $\pi /2\,$ relativa al la antaŭa formo;

aŭ kiel

$x=A\sin {\omega _{0}t}+B\cos {\omega _{0}t}\,,$

kie A kaj B estas la konstantoj difinitaj per la komencaj kondiĉoj, anstataŭ A kaj φ en la antaŭaj formoj.

La frekvenco de la osciladoj, aŭ propra frekvenco de la sistemo, estas:

$f_{0}={\frac {\omega _{0}}{2\pi }}\,.$

La kineta energio estas

$T={\frac {1}{2}}m\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}={\frac {1}{2}}kA^{2}\sin ^{2}(\omega _{0}t+\phi )\,,$

kaj la potenciala energio estas

$U={\frac {1}{2}}kx^{2}={\frac {1}{2}}kA^{2}\cos ^{2}(\omega _{0}t+\phi )\,,$

tiel la tuteca energio de la sistemo havas la konstantan valoron

$E={\frac {1}{2}}kA^{2}\,.$

Trudata harmona oscilo

Ĉi tiu estas priskribita per la nehomogena lineara diferenciala ekvacio de dua ordo. Se la pelanta forto estas mem sinusa, la ekvacio estas:

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+{\omega _{0}}^{2}x=A_{0}\cos(\omega t)$

Amortizita harmona oscilo

Amortizita oscilado: la amplitudo de la sinusa kurbo estas kontrolita de eksponenta funkcia disfalo.

Ĉi tiu estas priskribita per la ekvacio:

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+b/m{\frac {dx}{dt}}+{\frac {k}{m}}x=0$

kie la amortizanta forto estas proporcie kun b.

Ekzemplo: pezilo sur risorto mergita en likvaĵo.

Se

$b^{2}<4km\,$

la solvo estas:

$y=Ae^{-{b \over 2m}t}\cos(\omega t+\phi )\,,$

$\scriptstyle {A}$ kaj $\scriptstyle {\phi }$ estas konstantoj, kiuj dependas de komencaj kondiĉoj; la angula frekvenco estas:

$\omega ={\sqrt {{k \over m}-\left({b \over 2m}\right)^{2}}}\,.$

Amortizata, trudata harmona oscilo

Se la pelanta forto estas mem sinusa, ĉi tiu estas priskribata per la ekvacio:

$m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+r{\frac {dx}{dt}}+kx=F_{0}\cos(\omega t)\,.$

La ĝenerala solvaĵo estas sumo de pasema solvo (la nedaŭra solvaĵo por amortizita negvidita harmona oscilo, de homogena ODE) kiu dependas de komencaj kondiĉoj, kaj malŝanĝiĝema stato (solvaĵo de la nehomogena ODE) kiu estas sendependa de komencaj kondiĉoj kaj dependas nur de pelanta forto.

La malŝanĝiĝema-stata solvaĵo estas:

$x(t)={\frac {F_{0}}{Z_{m}(\omega )\omega }}\sin(\omega t-\phi )\,,$

kie

$Z_{m}(\omega )={\sqrt {r^{2}+\left(\omega m-{\frac {k}{\omega }}\right)^{2}}}$

estas la absoluta valoro de la impedanco

$Z(\omega )=r+i\left(\omega m-{\frac {k}{\omega }}\right)\,,$

kaj

$\phi (\omega )=\arctan \left({\frac {\omega m-{\frac {k}{\omega }}}{r}}\right)$

estas la fazo de la oscilado relativa al la pelanta forto.

Por certa pelanta frekvenco, f = ω/2π, la amplitudo (relative al donita forto $F_{0}$) estas maksimuma. Ĉi tiu okazas por la frekvenco f_r pri kiu:

${\omega }_{r}={\sqrt {{\frac {k}{m}}-{\frac {r^{2}}{2m^{2}}}}}$

kaj estas la resonanco de delokigo.

La pasema solvaĵo bazita sur solvado de la ordinara diferenciala ekvacio estas por ajnaj konstantoj c₁ kaj c₂:

$q_{t}(\tau )={\begin{cases}e^{-\zeta \tau }\left(c_{1}e^{\tau {\sqrt {\zeta ^{2}-1}}}+c_{2}e^{-\tau {\sqrt {\zeta ^{2}-1}}}\right)&\zeta >1\ {\mbox{(granda amortizo)}}\\e^{-\zeta \tau }(c_{1}+c_{2}\tau )=e^{-\tau }(c_{1}+c_{2}\tau )&\zeta =1\ {\mbox{(krita amortizo)}}\\e^{-\zeta \tau }\left[c_{1}\cos \left({\sqrt {1-\zeta ^{2}}}\tau \right)+c_{2}\sin \left({\sqrt {1-\zeta ^{2}}}\tau \right)\right]&\zeta <1\ {\mbox{(malgranda amortizo)}}\end{cases}}$

kie $\zeta ^{2}={\frac {r^{2}}{4mk}}\$ , kaj $\tau ={\sqrt {\frac {k}{m}}}\ t\ .$

La pasema solvaĵo estas sendependa de la gvidada funkcio (la dekstra flanko de la diferenciala ekvacio).

Por trovi la du nekonatajn konstantojn c₁ kaj c₂, oni bezonas du ekvacioj, kiuj estas donataj per la valoroj de la komenca amplitudo kaj de la komenca rapido.

Notu ke se r = 0 (sen amortizo) kaj ω = ω₀, Z_m = 0, tial la amplitudo de la gvidita oscilo estus infinita; praktike estas kondiĉoj, kiuj kompreneble limigas la amplitudon aŭ haltas la oscilon.

Maso sur risorto

Se oni kroĉas al fino de risorto mason m , ĝi plilongigos la risorton je longo x. Se oni kreskigas la ŝarĝon, kreskos ankaŭ la plilongiĝo. Post kelkaj mezuroj oni povas difini, ke la plilongiĝo estas proporcia je la maso de ŝarĝo, kaj dependas de iu faktoro k, ĝi estas la risorta konstanto. Pro la gravito la maso tiras la risorton per G forto.

$k={\frac {G_{i}}{x_{i}}}$

En trankvila stato sur la ŝarĝo efikas la peza forto G, kaj la elasta forto de la risorto F ₁, kiu laŭ supraj mezuroj estas kalkulebla:

Se oni pliigas la longon de la risorto per ekstra forto je longeto u al la pozicio 2, pliiĝos ankaŭ la risorta forto:

Post ĉesto de la ekstera forto, la risorta forto ektiras la ŝarĝon en la direkto de la antaŭa trankvila stato. La komenca risorta forto estas proporcia je la plilongigo de la risorto.

La movo de la ŝarĝo akcelas ĝis la origina ripoza punkto. Ĉi tie la risorta forto estas nula, sed la ŝarĝo rezulte de sia movenergio moviĝas plu je malakcela movo ĝis la supra morta punkto. Poste de tie pro sia pozicia energio la ŝarĝo ekmovas malsupren, ĝis la malsupra morta punkto. De ĝi tie denove ekmoviĝas supren, ktp. La alterna movo daŭras ĝis la tempo, kiam la transdonita energio per la tiro de la risorto konsumiĝas pro varmoperdo kaj aera froto.

Se oni bildigas la movon de la ŝarĝa korpo depende de tempo en koordinatsistemo, rezultas diagramo simila al sinusa kurbo. Tiaj sinusaj movoj nomiĝas harmoniaj vibroj. La distanco de la maspunkto de la moviĝanta korpo mezurita de la elira punkto estas la devio, kies grando laŭ la tempo alia kaj alia estas, kaj la plej granda devio estas la amplitudo. La tempo necesa por la tuta ciklo – de la elirpunkto ĝis la reveno al la elirpunkto –, estas la perioda tempo. La reciproko de perioda tempo, kiu montras la nombron de okazintaj periodoj dum tempounuo, estas la frekvenco.

La mezurunuo de la frekvenco estas la herco, je memoro de germana fizikisto Hertz, la malkovranto de la elektromagnetaj ondoj.

1 Hz = 1 s⁻¹.

La 2$\pi$-oblo de frekvenco nomiĝas cirkla frekvenco aŭ angula frekvenco:

$\omega ={2\pi \cdot f}$

La cirkla frekvenco montras la parencecon inter cirkla movo kaj vibra movo, ja la ekvacio de cirkla frekvenco forme estas egala al tiu de cirkla movo.

Oni povas difini la akcelon de vibra movo laŭ la analogio de ekzameno de cirkla movo. La vibran movon oni povas rigardi, kiel la projekcion de cirkla movo. La projekcio de movo de punkto A cirkulanta laŭ la rado OA konformiĝas al la movo de masa centro de ŝarĝa korpo pendanta sur la fino de risorto.

Akcelo de vibra movo

La akcela vektoro de cirkulanta punkto sur la loko B₁ estas a₁. La projekcio de akcela vektoro al la rado OA estas a. La tasko estas difini la akcelon a. Laŭ la figuro surbaze de similaj trianguloj oni povas skribi la rilaton:

$\Delta OBB_{1}\approx \Delta O_{1}B_{2}B_{1}$

${\frac {a}{u}}={\frac {a_{1}}{r}}=\omega ^{2}$

De tie:

$a=\omega ^{2}u\ .$

Do, la akcelo de vibromovo estas rekte proporcia kun kvadrato de cirklofrekvenco, kaj per la devio. De ĉi tie oni povas difini, ke en la punkto 1, kie la rapideco estas la plej granda, la akcelo estas nulo, kaj en la mortopunkto, kie la rapideco estas nula, la valoro de la akcelo estas maksimuma.

Laŭ la 2-a aksiomo de Newton oni povas kalkuli la valoron de retira forto:

$F=m{a}=ku=m\omega ^{2}u\,.$

De ĉi tiu ekvacio oni povas esprimi la risortan konstanton:

$k=m\omega ^{2}=m{\frac {m}{k}}=4\pi ^{2}mf^{2}$

de tie venas la perioda tempo kaj la frekvenco:

$T=2\pi {\sqrt {\frac {m}{k}}}$

$f={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k}{m}}}\,.$

Videblas, ke la frekvencon de la vibranta sistemo difinas la frakcio de la risorta konstanto kaj la maso de vibranta korpo.

Vidu ankaŭ

• Kvantuma harmona oscilo
• Diferenciala ekvacio
• Frotado
• Frotado
• Resonanco
• Tordopendolo
• Vibrado

Eksteraj ligiloj

• Applet Java : Vidigo de kineta energio E_c, potenciala energio E_p kaj mekanika energio E_a dum la movado (france).
• Applet Java : Vidigo de oscilado laŭ risortokonstanto, kaj laŭ seka aŭ fluida frotado (angle).