Malfermi la ĉefan menuon

En matematiko, kurba integralo estas integralo komputita laŭ kurbo en ia spaco. Kurbaj integraloj estas uzataj en vektora kalkulo kaj kompleksa analitiko. En vektora kalkulo oni konsideras integralojn de skalaravektora kampoj sur multdimensia spaco; En kompleksa analitiko oni konsideras integralojn de holomorfaj funkcioj sur kompleksa ebeno.

Por kurba integralo oni uzas la normalan integralan simbolon . Kelkfoje, por integralo laŭ fermitaj kurboj (t.e., kurboj kies komenca kaj fina punktoj koincidas), oni uzas la specialan simbolon .

Kurba integralo en vektora kalkuloRedakti

Supozu ke:

  •   estas orientita kurbo korektebla (angle rectifiable; t.e., kurbo kun finia, difinebla longeco);
  •   estas barita, kontinua (escepte sur nulmezura aro) skalara kampo.

Tiam oni konstruas sumon de Riemann jene. Parametrigu   kiel  , kaj dividu   en   pecojn   kun  . Tiam la kurba integralo de skalara kampo   sur kurbo   difiniĝas kiel

 .

Oni povas pruvi ke la sumo de Riemann ekzistas kaj ne dependas je elekto de parametrigo. Se la kurbo   estas pece glata, la difino simpliĝas al jena formulo:

 .

Anstataŭ skalaraj kampoj oni povas difini integralojn de vektoraj kampoj simile. Supozu ke:

  •   estas orientita kurbo korektebla;
  •   estas vektora kampo.

Elektu parametrigon   kaj dividu   en   subintervalojn  . La kurba integralo de vektora kampo   laŭ kurbo   difiniĝas jene:

 .

Simile, se la kurbo   estas pece glata:

 .

Se   estas la gradiento de iu skalara kampo  , tio estas,

 ,

oni povas pruvi ke

 .

Mirinde, por gradientoj de skalaraj kampoj, la kurba integralo ne dependas je la preciza kurbo uzata sed nure je la finpunktoj   kaj   (kaj la orientado) de la kurbo.

Kompleksa analitikoRedakti

Supozu ke

  •   estas orientita kurbo korektebla (angle rectifiable; t.e., kurbo kun finia, difinebla longeco);
  •   estas kompleksvalora funkcio.

Parametrigu   kiel  , kaj dividu   en   pecojn  . La kurba integralo de   laŭ   difiniĝas kiel la sumo de Riemann

 .

Se   estas peca glata, la difino simplifigas al:

 .

Ekzemple, konsideru la funkcio  . Difinu la kurbo   kiel maldekstrume orientita cirklo ĉirkaŭ  . Ni povas parametrigi   kiel   kun  . Ni trovas:

 
 
 
 .

Tiu ĉi povas esti ankaŭ kontrolita per la teoremo de rekremento (vidu sube).

Teoremo de rekrementoRedakti

Gravaj propozicioj pri kurbaj integraloj estas la koŝia integrala teoremo kaj la teoremo de rekremento (angle: residue).

La teoremo de rekremento donas ĝeneralan metodon kalkuli kurbajn integralojn de meromorfaj funkcioj. Precize, supozu ke

  •   estas simple konektita malfermita aro;
  •  ;
  •   estas holomorfa funkcio (t.e. meromorfa sur   kun polusoj  );
  •   estas orientita fermita kurbo korektebla (t.e. kun finia longeco).

Tiam:

 

kie

  •   signifas la vindnombron (angle: winding number), t.e.,   se   ne serpentumas ĉirkaŭ  ;   se   serpentumas ĉirkaŭ    -foje maldekstrume (t.e. mallaŭhorloĝnadle);   se   serpentumas  -foje dekstrume (t.e. laŭhorloĝnadle);
  •   signifas la rekrementon (angle: residue) de   apud  , t.e., la valoron   tian ke   havas holomorfa malderivaĵo apud  .

Speciale, se mankas la polusoj de  , tiam  . Tio ĉi estas la koŝia integrala teoremo.

Pro la teoremo de rekremento, oni povas ofte uzi konturajn integralojn en la kompleksa ebeno por trovi integralojn de reelvaloraj funkcioj de reela variablo.

Ekzemple, ree konsideru la antaŭan ekzemplon,  , kie   estas cirklo ĉirkaŭ  . Ekzistas unu poluso de  , t.e., ĉe  . La rekremento  , ĉar   havas holomorfan malderivaĵon  . La vindnombro estas  . Tial

 .

Rilato inter vektora kaj kompleksa kurbaj integralojRedakti

Oni povas identigi   kun  . Konsideru orientitan korekteblan kurbon   kaj funkcion  . Tiam:

 

kaj

 

kie   estas   vidita kiel vektora funkcio kaj   estas   vidita kiel vektora funkcio.

Uzado en fizikoRedakti

La kurba integralo havas multajn aplikojn en fiziko. Ekzemple, la laboro farita sur partiklo vojaĝanta sur kurbo   per forto   estas  . Se la forto estas gradiento de skalara kampo (t.e., potencialo), tiam la laboro ne dependas sur la preciza vojo de partiklo, nure sur la komenca kaj fina pozicioj de la partiklo.

Kurbaj integraloj estas gravaj ankaŭ en kvantuma mekaniko kaj kvantuma kampa teorio. Ekzemple, kompleksaj kurbaj integraloj estas ofte uzataj kalkuli amplitudojn de probabloj en teorio de disĵetoj.

Vidu ankaŭRedakti

Eksteraj ligilojRedakti