Surfaca integralo

En matematiko, surfaca integralo estas difinita integralo prenita tra donita surfaco. Surfaca integralo estas duopa integralo analoga al la kurba integralo.

La difino de surfaca integralo surbaze de disdivido de la surfaco en malgrandajn pecojn

Unu surfaca peco, ĝi devas esti farita infinitezime malgrandan

Surfaca integralo povas esti prenita de skalara kampo (kio estas funkcio kies redona valoro estas nombro) aŭ de vektora kampo (kio estas funkcio kies redona valoro estas vektoroj).

Surfacaj integraloj havi aplikoj en fiziko, aparte kun la klasika teorio de elektromagnetismo.

Surfacaj integraloj de skalaraj kampoj

Estu surfaco S kaj estu skalara kampo f difinita en S.

Se konsideri ke S estas farita el iu materialo, kaj por ĉiu w en S la nombro f(w) estas la surfaca denseco (maso de unuo de areo) de materialo je w, tiam la surfaca integralo de f super S estas la entuta maso de S; ĉi tio veras nur se la surfaco estas infinitezime maldika. Por kalkuli la tutecan mason eblas disdividi la surfaco en multajn malgrandajn pecojn kaj alpreni ke en ĉiu peco la denseco estas proksimume konstanta, kaj tiam trovi la mason de ĉiu peco per multiplikado de denseco de la peco kun ĝia areo, kaj poste sumigi la ĉiujn rezultantaj masojn de pecoj.

Al trovi eksplicitan formulon por surfaca integralo, necesas parametrigo de S, kiel w(s, t), tia ke kiam (s, t) varias en iu regiono T en la 2-dimensia ebeno, w(s, t) varias tra la tuta S. Tiam, la surfaca integralo estas donita per

$\int _{S}f\,dS=\iint _{T}f(\mathbf {w} (s,t))\left|{\partial \mathbf {w} \over \partial s}\times {\partial \mathbf {w} \over \partial t}\right|ds\,dt$

kie $\left|{\partial \mathbf {w} \over \partial s}\times {\partial \mathbf {w} \over \partial t}\right|$ estas la grandeco de vektora produto de partaj derivaĵoj de w(s, t) laŭ s kaj laŭ t; ĉiu el la partaj derivaĵoj estas vektoro-valora funkcio de s kaj t. Ĉiu tiu multiplikato enkonsideras tion ke se $\partial \mathbf {w} \over \partial s$ kaj $\partial \mathbf {w} \over \partial t$ estas perpendikularaj tiam la areo kovrata per ŝanĝo de s kaj t estas maksimuma ebla, se ili estas ne perpendikularaj tiam la areo estas malpli granda, kaj se ili estas paralelaj tiam la areo estas nulo kaj ĉi tiu loko ne donas kontribuon en la rezultan valoron de integralo.

Notu, ke pro uzo de la vektora produto, la formulo pli supre validas nur por surfacoj en tri dimensia spaco. Pli ĝenerala formulo povas esti skribita per taŭga uzo de skalara produto anstataŭ vektora produto.

Se la surfaco estas donita en implica formo z=f(x, y) kaj la parametrigo estas per x kaj y tiam w=(x, y, z)=(x, y, f(x, y)) kaj do

$\int _{S}f\,dS=\iint _{T}f\left|{\partial \mathbf {w} \over \partial x}\times {\partial \mathbf {w} \over \partial y}\right|dx\,dy$

Ankaŭ

${\partial \mathbf {w} \over \partial x}=(1,0,{\partial f(x,y) \over \partial x})$

${\partial \mathbf {w} \over \partial x}=(0,1,{\partial f(x,y) \over \partial y})$

Tiel

${\begin{aligned}\int _{S}f\,dS&{}=\iint _{T}f\left|\left(1,0,{\partial f \over \partial x}\right)\times \left(0,1,{\partial f \over \partial y}\right)\right|dx\,dy\\&{}=\iint _{T}f\left|\left(-{\partial f \over \partial x},-{\partial f \over \partial y},1\right)\right|dx\,dy\\&{}=\iint _{T}f{\sqrt {\left({\partial f \over \partial x}\right)^{2}+\left({\partial f \over \partial y}\right)^{2}+1}}\,dx\,dy\end{aligned}}$

Surfacaj integraloj de vektoraj kampoj

Vektora kampo sur surfaco.

Estu vektora kampo v sur S, tio estas, por ĉiu w en S, v(w) estas vektoro. Imagu ke estas fluido fluanta tra S, tia ke v(w) difinas la rapidon de la fluido je w . La fluo estas difinita kiel la kvanto de fluido fluanta tra S en unuo de tempo.

Se la vektora kampo estas tanĝanto al S je ĉiu punkto, tiam la fluo estas nulo, ĉar la fluido fluas ĝuste paralelo al S, kaj nek enen nek eksteren. Se v ne estas nur fluo laŭ S do v havas ambaŭ tanĝantan kaj normalan komponantojn. Tiam nur la normala komponanto kontribuas al la fluo. Por trovi la fluon necesas preni la skalara produto de v kun la unuaobla surfaca normalo al S je ĉiu punkto. La valoro de skalara produto estas skalara kampo difinita ĉie sur S, kaj ĝi povas esti integralita kiel pli supre. Tiel:

$\int _{S}{\mathbf {v} }\cdot \,d{\mathbf {S} }=\int _{S}({\mathbf {v} }\cdot {\mathbf {n} })\,dS=\iint _{T}{\mathbf {v} }(\mathbf {w} (s,t))\cdot \left({\partial \mathbf {w} \over \partial s}\times {\partial \mathbf {w} \over \partial t}\right)ds\,dt$

La vektora produto en ĉi tiu formulo estas surfaca normalo difinita per la parametrigo.

Ĉi tiu formulo estas difino de la integralo de la vektora kampo v sur S.

Surfacaj integraloj de diferencialaj 2-formoj

Estu

$f=f_{1}dx\wedge dy+f_{2}dy\wedge dz+f_{3}dz\wedge dx$

diferenciala 2-formo difinita sur la surfaco S, kaj estu

w (s, t) = ( x(s, t), y(s, t), z(s, t) )

konservanta orientiĝon parametrigo de S kun (s, t) en D. Tiam, la surfaca integralo de f sur S estas donita per

$\iint _{D}\left[f_{1}(\mathbf {w} (s,t)){\frac {\partial (x,y)}{\partial (s,t)}}+f_{2}(\mathbf {w} (s,t)){\frac {\partial (y,z)}{\partial (s,t)}}+f_{3}(\mathbf {w} (s,t)){\frac {\partial (z,x)}{\partial (s,t)}}\right]\,dsdt$

kie

${\partial \mathbf {w} \over \partial s}\times {\partial \mathbf {w} \over \partial t}=\left({\frac {\partial (y,z)}{\partial (s,t)}},{\frac {\partial (z,x)}{\partial (s,t)}},{\frac {\partial (x,y)}{\partial (s,t))}}\right)$

estas la surfaca normalo al S.

Surfaca integralo de ĉi tiu 2-formo estas la sama kiel la surfaca integralo de vektora kampo kun komponantoj $f_{1}$, $f_{2}$ kaj $f_{3}$.

Unikeco kaj ekzisto

Rubando de Möbius

La surfaca integralo estas difinita uzante parametrigon de la surfaco. La sama surfaco povas havi multajn malsamajn parametrigoj. Ekzemple, se la surfaco estas parto de ebeno eblas uzi diverse turnitajn karteziajn koordinatojn kaj polusajn koordinatojn kun diversa situo de la centro. Se la surfaco estas sfero parametrigita per la latitudo kaj longitudo povas esti diversaj situoj de la polusoj.

La surfaca integralo de skalara kampo ne dependas de elektita parametrigo, ĉi tio povas esti montrite per konsidero ke ĝi donas valoron de maso de la surfaco farita el materialo (vidu ekzemplon pli supre), kaj la maso ne dependas de la parametrigo.

Ĉe la surfaca integralo de vektora kampo, la surfaca normalo estas uzata. Se estas du donitaj parametrigoj de la sama surfaco por kiuj surfacaj normaloj montras en la sama direkto, rezultas la sama valoro por la surfaca integralo por ambaŭ parametrigoj. Se surfacaj normaloj montras en la kontraŭaj direktoj, rezultas la valoro de la surfaca integralo kun la mala signo. Tiel por donita surfaco, oni ne bezonas uzi ĉiam la saman parametrigon, sed oni devas decidi en kiu direkto estas la normala vektoro kaj lekti ajnan konvenan al la direkto de normalo parametrigon. Por fermitaj surfacoj, kutime oni konsideras ke la normalo montras eksteren.

Ekzistas surfacoj kiuj ne havas parametrigojn kiu kovras la tutan surfacon, aŭ por kiuj uzo de parametrigo kiu kovras la tutan surfacon estas malfacila. Tiam eblas disdividi la surfacon en kelkajn pecojn, kalkuli la surfacan integralon aparte sur ĉiu peco, kaj poste adicii la pecajn rezultojn. En integralado de vektora kampo per ĉi tiu maniero oni devas tiel elekti parametrigojn de la pecoj, ke je linioj de la disdivido la surfacaj normaloj de ambaŭ najbaraj pecoj havu la saman direkton. Ekzistas tamen surfacoj por kiuj ne eblas taŭge elekti surfacajn normalojn por ĉiuj pecoj. Ĉi tiuj estas ne-orienteblaj surfacoj, ekzemple rubando de Möbius. Se ĉi tia surfaco estas disdividita en pecojn, kaj sur ĉiu peco parametrigo kaj respektiva surfaco normala estas elektita, tiam nepre ie okazos disdivida interpeca linio, tia ke la du najbaraj pecoj havas surfacajn normalojn montrataj en la kontraŭaj direktoj. Sur ĉi tiu speco de surfaco ne ekzistas ĝenerale konsentita maniero kalkuli surfacan integralon de vektora kampo, kvankam kalkulado surfaca integralo de skalara kampo eblas tute bone. Ekzemple fluo de magneta kampo tra rubando de Möbius ne povas esti kalkulita (temas pri fluo tra la surfaco mem, ne pri fluo tra la truo de la ringo-simila rubando), sed maso de rubando de Möbius povas esti kalkulita (vidu pli supre pri ideo de kalkulado de maso).

Vidu ankaŭ

• Diverĝenca teoremo
• Teoremo de Stokes
• Kurba integralo
• Volumena integralo
• Obla integralo

Eksteraj ligiloj

• Surfaca integralo je MathWorld
• Surfaca integralo