Malfermi la ĉefan menuon

Distribucio

ĝeneraligo de la koncepto de funkcio

En analitiko, distribucio estas objekto simila al funkcio sed eble kun neordinaraj punktoj — ekzemple, la delta distribucio . Teknike, distribucio estas kontinua lineara funkcionalo sur ia spaco de "bonaj" funkcioj (por la preciza difino de "boneco", vidu sube). La teorio de distribucioj estas lineara en senco ke oni povas fari linearan operaciojn je distribuoj (ekz., adicion, derivon, konverton de Fourier, k.t.p.), sed oni ne povas, ĝenerale, fari nelinearajn operaciojn (ekz., multiplikon).

DifinoRedakti

Konsideru malfermitan subspacon[1]  . Testa funkcio   estas funkcio

  • kompakte apogata, k.e., ekzistas kompakta subspaco   tia ke   se  ;
  • kaj senfine derivebla, k.e.,   ekzistas por ĉiu multindekso  .

Difinu topologion sur la vektora spaco   de testaj funkcioj sur   jene: se   ( ), do   se kaj nur se

  • ekzistas kompakta subspaco   tia ke   por ĉiu   se  ;
  • kaj   por ĉiu multindekso   (k.e.,   uniforme).

Distribucio sur   estas kontinua (laŭ supra topologio) lineara funkcionalo  . En aliaj vortoj, la spaco   de distribucioj estas la topologia dualo de   (laŭ supra topologio).

Funkcioj kiel distribuciojRedakti

Funkcio   estas loke integralebla se kaj nur se ĝi estas integralebla (laŭ Lebesgue) sur ĉiu kompakta subspaco  . Difinu ĵeton   el spaco de loke integraleblaj funkcioj al spaco de distribucioj tian ke

 .

Tiu ĉi ĵeto estas bijekcio escepte ke   se kaj nur se   kaj   koincidas escepte sur nulmezura aro. Tial, normale oni skribas kvazaŭ loke integralebla funkcio estus distribucio.

La derivaĵo de distribucioRedakti

Se   estas multindekso, difinu derivaĵon   de distribucio   (laŭ poparta integralado) kiel

 .

Se la distribucio estas funkcio (laŭ supra ĵeto inter funkcioj kaj distribucioj), la derivaĵo kiel distribucio koincidas kun la derivaĵo kiel funkcio.

MultiplikoRedakti

Oni povas difinu multiplikon inter distribucio kaj senfine derivebla funkcio (sed, ĝenerale, ne inter du distribucioj). Difinu la produton   de distribucio   kaj senfine derivebla funkcio   tian ke

 .

Bontemperamentaj distribuciojRedakti

Oni ne povas difini konverton de Fourier de ĉia distribucio. Tamen, oni povas difini subaron de specialaj distribucioj — la bontemperamentaj (angle tempered) distribucioj — sur kiu oni povas difini konverton de Fourier.

Konsideru eŭklidan spacon  . Funkcio de Schwartz estas funkcio   tia ke

 

pro ĉia multindekso   kaj  . Oni povas pruvi ke konvertaĵo de Fourier de funkcio de Schwartz estas alia funkcio de Schwarz.

Difinu topologion sur spaco   de funkcioj de Schwarz tian ke   se kaj nur se:

  pro ĉia multindekso   kaj  .

Bontemperamenta distribucio estas kontinua lineara funkcionalo   (laŭ supra topologio). En aliaj vortoj, la spaco   de bontemperamentaj distribucioj estas la topologia dualo de  .

La spaco   estas subspaco de  , ĉar   estas subaro de   kaj konverĝeco laŭ   estas pli forta ol konverĝeco laŭ  . Oni povas pruvi ke la derivaĵo de bontemperamenta distribucio estas alia bontemperamenta distribucio.

Difinu la konvertaĵon de Fourier   de bontemperamenta distribucio   kiel jenon:

 .

La konvertaĵo de Fourier de bontemperamenta distribucio estas alia bontemperamenta distribucio. Oni povas pruvi ke

 .

La ondfronta aro kaj multipliko de distribuciojRedakti

Ĝenerale oni ne povas difini produtojn de arbitraj distribucioj. Tamen, oni povas uzi la koncepton de ondfronta aro difini produtojn de distribucioj kiuj verigas kelkajn kondiĉojn.[2]

Se   estas senfine derivebla funkcio, difinu la aron   kiel la aron de punktoj   tiaj ke   ne kreskas malrapide kiel funkcio de  .[3]

Oni povas pruvi ke la konvertaĵo de Fourier de kompakte apogata distribucio estas senfine derivebla funkcio. La ondfronta aro (angle wavefront set)   de distribucio   estas la aro   de punktoj   tiaj ke   por ĉiu testa funkcio   kun  .

Konsideru distribuciojn   kaj  . Se ne ekzistas   tia ke  , do la "neordinaraĵoj" de la du distribucioj ne koincidas (en ia senco), kaj oni povas unike difini la produton  .

NotojRedakti

  1. pli ĝenerale, oni povas konsideri senfine deriveblan duktojn.
  2. Vidu, ekz., la prezentadon de Richard Borcherds, arXiv:math-ph/0204014.
  3. Funkcio   kreskas malrapide se kaj nur se   por ĉiu pozitiva entjero  .

ReferencojRedakti