Kompakta spaco

topologia spaco, tia ke ĉiu kovro da malfermitaj subaroj enhavas finian subkovron

Je topologio, kompakta spaco[1] estas topologia spaco, sur kiu lokaj strukturoj (difintaj laŭ iu kovraĵo — fibra fasko, ktp.) povas esti ĉiam konsiderata finie, ĉar la kovraĵo estas ĉiam anstataŭebla per finia subkovraĵo.[2] Tial, kompakta spaco estas iasence “finie malgranda” kaj tial ofte facile traktebla.

Sub malfortaj kondiĉoj (nome, aksiomo de Hausdorff) ĉiu kompakta subaro estas fermita subaro. En metrika spaco, ĉiu kompakta subaro estas barita subaro.

DifinoRedakti

Malfermita kovraĵo de topologia spaco   estas familio de malfermitaj subaroj  , indicita laŭ  , kies kunigaĵo estas la tuta spaco:

 

Subkovraĵo de malfermita kovrilo   estas sub-familio  ,  , kiu estas mem malfermita kovraĵo:

 

Finia subkovraĵo estas, kompreneble, subkovraĵo   kies aro de indicoj   estas finia aro.

Topologia spaco   estas kompakta se ĉiu malfermita subkovraĵo de   havas finian subkovraĵon.

Kompakta subaro de topologia spaco estas subaro kiu estas kompakta topologia spaco kiam ĝi estas rigardata kiel (memstara) topologia spaco.

TeoremojRedakti

Jen iuj teoremoj pri kompaktaj spacoj.

  • kontinua bildo de kompakta spaco estas kompakta. T.e. se   kaj   estas topologiaj spacoj, kaj   estas kontinua bildigo, kaj   estas kompakta, do ĝia bildo   estas kompakta.
  • Fermita subaro de kompakta spaco estas kompakta.
  • Kompakta subaro de Hausdorff-a spaco estas fermita subaro.
  • Kompakta subaro de metrika spaco estas barita subaro.

Kompakteco en eŭklida spacoRedakti

Por ĉiu subaro de eŭklida spaco Rn, kvar jenaj kondiĉoj estas ekvivalentaj:

  • Ĝi estas kompakta.
  • Ĉiu vico en la aro havas konverĝan subvicon, la limespunkto de kiu apartenas al la aro.
  • Ĉiu malfinia subaro de la aro havas akumuliĝan punkto en la aro.
  • La aro estas fermita kaj barita. Ĉi tiu kondiĉo estas la plej facila por kontroli, ekzemple povas esti intervalo aŭ fermita n-pilko.

En alia spacoj ĉi tiuj kondiĉoj povas esti aŭ ne esti ekvivalentaj, depende de propraĵoj de la spaco.

EkzemplojRedakti

HistorioRedakti

La koncepton kompakteco difinis la franca matematikisto Maurice René Fréchet en 1906.

Terminologia konfuzo ekzistas inter lingvoj. Je la angla, la ĝenerala koncepto de kompakteco estas la ĉi-supra difino; tio estas ankaŭ la difino en la Nova Plena Ilustrita Vortaro de Esperanto.[1] Je la franca, tamen, “kompakta spaco” (france espace compact) ofte signifas Haŭsdorfan kompaktan spacon. Notinde, la grava franca matematikista grupo Nicolas Bourbaki uzas la terminon kompakteco en tiu senco. Laŭ tiuj aŭtoroj, la anglalingva kompakta spaco nomiĝas kvazaŭkompakta spaco, kaj la anglalingva Hausdorff-a kompakta spaco nomiĝas kompakta spaco.

ReferencojRedakti

  1. 1,0 1,1 Nova Plena Ilustrita Vortaro de Esperanto: kompakt/a
  2. Lynn Arthur Steen, J. Arthur Seebach, Jr.. (1978) Counterexamples in Topology (angle). Springer-Verlag.

Eksteraj ligilojRedakti