Malfermi la ĉefan menuon

Lagranĝa mekaniko

Lagranĝa mekaniko estas reesprimo de klasika mekaniko far Joseph-Louis Lagrange. Ĝi esprimas la staton de klasika sistemo kiel iu aro de nombroj (ĝeneraligitaj koordinatoj), kiuj evoluas tra tempo laŭ iuj leĝoj. La leĝoj estas kondiĉoj minimumigi ian kvanton, la lagranĝianon , kiu estas funkcio de la koordinatoj kaj la rapidoj (temp-derivoj de la koordinatoj). Do, la lagranĝiano determinas la evoluon de la sistemo.

kie T estas la tuta kineta energio (kiu dependas de la movokvantoj), kaj V estas la tuta potenciala energio (kiu dependas de la koordinatoj) de la sistemo.

Lagranĝa mekaniko provizas metodon aŭtomate certigi konserviĝon de energio kaj movokvanto (tamen lagranĝa mekaniko povas priskribi ankaŭ sistemon sen konserviĝo de energio aŭ movokvanto). Lagranĝa mekaniko kongruas kun speciala relativeco en la senco, ke ĝi povas esprimi relativecajn teoriojn en tia maniero ke la relativeco estas evidenta (kontraste kun hamiltona mekaniko).

DifinoRedakti

Laŭ lagranĝa mekaniko, klasika fizika sistemo konsistas el:

  • Reela kontinue derivebla sternaĵo  , la spacon de agordoj (france espace de configuration). La dimensio de   estas la nombro de gradoj de libereco de la sistemo. Punkto   estas (ĝeneraligita) koordinato; punkto   estas (ĝeneraligita) rapido.
  • Komenca koordinato   kaj fina koordinato  .
  • Tempa intervalo  ;
  • Kontinue derivebla funkcio  , la lagranĝiano. Ĝi estas funkcio (ne funkcionalo) de tempo, koordinatoj, kaj rapidoj. Sistemo estas aŭtonoma s.n.s. ĝia lagranĝiano ne (rekte) dependas de tempo, k.e.,   por ĉiu  .

Principo de senmova agoRedakti

La spaco   estas la aro de kontinue deriveblaj kurboj   tia ke   kaj  . Donu al ĝi la topologion generita de aroj

  s.n.s.   estas membro de la atlaso de  , kaj   koincidas kun   ekster  , kaj   kie   kaj   por ĉiu  .

Unu-parametra familio de kurboj estas kontinue derivebla funkcio  . Funkcionalo   sur   estas senmova ĉe   s.n.s. por ĉiu unu-parametra familio de kurboj   ( ) tia ke  , do  .

La ago estas la funkcionalo   difinita kiel

 .

La lagranĝiano determinas la evoluon de la sistemo laŭ la principo de senmova ago, kiu asertas ke:

La ago estas senmova ĉe la trajektorio de la sistemo.

Kelkaj aŭtoroj anstataŭe uzas la nomon principo de minimuma ago; tiu estas iom misnomita, ĉar senmoveco estas pli ĝenerala ol minimumeco. (Ekzemple, la trajektorio povas anstataŭe maksimumigi la agon aŭ simple esti sela punkto.)

Ekvacio de Euler–LagrangeRedakti

Oni povas pruvi ke la senmoveco de la ago estas ekvivalenta al la jena kondiĉo, la ekvacio de Euler–Lagrange:

Konsideru la partajn derivaĵojn   kaj  ,  , kie   kaj  . Do la trajektorio   (kontinue derivebla,  ,  ) verigas:
  por ĉiu  .

Tial la ekvacio de Euler–Lagrange estas ekvacio de movado de la sistemo. La ekvacio de Euler–Lagrange estas dua-orda diferenciala ekvacio. Do la komenca valoro de la problemo konsistas el la nula- kaj unua-ordaj derivaĵoj de la trajektorio,  . Tial, ĝenerale, stato de la sistemo estas punkto  , konsistanta el koordinato kaj rapido.

La (ĝeneraligita) movokvanto   (kovektora kampo) estas difinita kiel

 .

La (ĝeneraligita) forto   (kovektora kampo) estas difinita kiel

 .

Do la ekvacio de Euler–Lagrange simpliĝas al

 ,

kiu similas la duan leĝon de Newton.

Ekzemplo: Partiklo sur sternaĵoRedakti

Kiel ekzemplo, konsideru partiklon limigitan al la interno de iu (pseŭdo-) rimana sternaĵo   (la spactempo). La spaco de agordoj estas   per difino. (Se   distingeblaj partikloj ekzistas anstataŭe, la spaco de agordoj estus  ; se la partikloj estas ne distingeblaj, do ni havas  , kie   por iu ajn permutaĵo  .)

Supozu ke la partiklo estas libera, k.e., ne sentas iajn eksterajn fortojn. Do unu ebla lagranĝiano estas simple la kineta energio:

 

kie   estas la maso de la partiklo. La movokvantoj estas

 ;

iliaj derivaĵoj laŭ tempo estas

 

kie   estas la simbolo de Christoffel. La ĝeneraligitaj fortoj estas

 .

Do la ekvacioj de Euler–Lagrange   fariĝas

 ,

aŭ (uzante la alian simbolon de Christoffel  )

 .

Tiu ĉi estas la fama ekvacio de geodeziiko (angle geodesic, france géodesique, germane Geodäte): la trajektorio estas geodeziiko, la plej mallonga (aŭ, pli ĝenerale, ekstrema aŭ senmova) kurbo inter du punktoj. Tial alternativa ago por la libera klasika partiklo estas la longo de la trajektorio de la partiklo, kaj la respondanta lagranĝiano estas la rapido de kresko de la trajektorio:

 .

La respondantaj movokvantoj estas

 ;

iliaj derivaĵoj estas

 ;

kaj la ĝeneraligitaj fortoj estas

 .

Do la ekvacioj de Euler–Lagrange fariĝas

 

Ĝenerale  . Tial ni ree havas la ekvacion de geodeziiko. Ni vidu ke pluraj malsamaj lagranĝianoj povas priskribi la saman dinamikon.

Konservatoj kaj Teoremo de NoetherRedakti

Simetrio de lagranĝa sistemo estas kontinue derivebla mapo  ,  , tia ke:

 

por iu  .

La (unua) teoremo de Noether (far germana matematikisto Emmy Noether) asertas ke:

Se aŭtonoma sistemo havas simetrion  , do ĝi konservas iun kvanton   difinitan loke kiel
 .

Skizo de pruvo. Ni neglektu indicon   pro klareco. Do  , kaj

 
 
 .

Alivorte, la teoremo de Noether rilatas simetrion al konservato.

La plej grava ekzemplo de konservato estas la energio. Konsideru aŭtonoman sistemon (la lagranĝiano ne dependas de tempo rekte). Do ĝi havas la simetrion : , kiu verigas

 .

(K.e.,   tie ĉi.) Do la kvanto, la hamiltoniano,

 

konserviĝas:

 .

La estas la tuta energio de aŭtonoma sistemo. Se la sistemo ne estas aŭtonoma, do

 

anstataŭe.

Rilato inter lagranĝa kaj hamiltona mekanikojRedakti

Ĉe   kaj  , konsideru la bildigon   difinitan kiel

 .

Pli ĝenerale, oni havas faskan mapon  . Lagranĝa sistemo estas regula s.n.s.   formas difeomorfion inter   kaj   — alivorte, s.n.s. oni povas unike determini la rapidojn el la movokvantoj. Lagranĝa sistemo estas forte regula s.n.s.   formas difeomorfion inter   kaj   (la lagranĝiano provizas naturan izomorfion inter la tanĝa kaj la kotanĝa faskoj). Klare, forte regula lagranĝiano estas ĉiam regula, sed la inversa implico ne estas vera ĝenerale.

Ekzemploj. Lagranĝiano   ne estas regula, ĉar la movokvantoj nulas idente. Lagranĝiano   estas forte regula, ĉar  . Lagranĝiano   estas regula sed ne forte regula, ĉar  : solaj pozitivaj movokvantoj havas malbildojn; la bildigo   estas enjekcia sed ne surjekcia.

Ni povas reformuli regulan lagranĝian sistemon kiel hamiltona sistemo jene. Difinu la fazan spacon  . La faza spaco havas duoblan da dimensioj de la spaco de agordoj  . Kiel (subspaco de) la kotanĝa fasko  , la faza spaco   portas naturan simplektan strukturon   jene. Konsideru la projekcion   kaj ĝian derivaĵon  . Do oni povas difini la unu-forman kampon   sur   kiel

  por  ,  , kaj  .

Laŭ loka koordinatsistemo,

 .

Do oni difinu

 .

Evidente   estas fermita (eĉ ekzakta) kaj ne degeneras.

Nune la hamiltonianon  , kiu estas funkcio  , vidiĝas kiel funkcio   (uzante la izomorfion  ). Do   formas hamiltona sistemo, kaj la ekvacioj de Hamilton povas esti pruvitaj el la ekvacioj de Euler–Lagrange.

Skizo de pruvo.
Vidante   kaj uzante koordinatoj  ,
 
 
 
 .
Vidante   kiel simplekta sternaĵo kaj uzante koordinatoj  ,
 .
  kaj  . ∎

ReferencojRedakti

  • LD Landau, EM Lifshitz, Mechanics, Pergamon Press.
  • KC Gupta, Classical mechanics of particles and rigid bodies, Wiley, 1988.
  • H Goldstein, CP Poole, JL Safko, Classical Mechanics. Addison-Wesley.
  • C Lanczos, The variational principles of mechanics. Dover, 1986, ISBN 0486650677.
  • F Kuypers, Klassische Mechanik Wiley-Vch, 2008, ISBN 3527407219.
  • ВИ Арнольд, Математические методы классической механики. 3a eld. Moskvo: Наука, 1989.
    • Angla traduko VI Arnold, Mathematical methods of mathematical physics, 2a eld. Novjorko: Springer-Verlag, 1989. ISBN 0387968903