La propagilo
K
(
x
,
t
;
x
′
,
t
′
)
{\displaystyle K(x,t;x',t')}
funkcio aŭ distribucio veriganta la jenan ekvacion:
(
i
ℏ
∂
∂
t
−
H
)
K
(
x
,
t
;
x
′
,
t
′
)
=
δ
(
x
−
x
′
)
δ
(
t
−
t
′
)
{\displaystyle \left(\mathrm {i} \hbar {\frac {\partial }{\partial t}}-H\right)K(\mathbf {x} ,t;\mathbf {x} ',t')=\delta (x-x')\delta (t-t')}
Tie ĉi,
H
{\displaystyle H}
hamiltoniano kaj
δ
{\displaystyle \delta }
diraka distribucio .
Ekzemple, konsideru liberan nerelativecan partiklon. La propagilo do verigas:
(
i
ℏ
∂
∂
t
−
ℏ
2
2
m
∇
2
)
K
(
x
,
t
;
x
′
,
t
′
)
=
δ
(
x
−
x
′
)
δ
(
t
−
t
′
)
{\displaystyle \left(\mathrm {i} \hbar {\frac {\partial }{\partial t}}-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\right)K(\mathbf {x} ,t;\mathbf {x} ',t')=\delta (x-x')\delta (t-t')}
Pro solvi ĝin, konvertu en movokvanto - kaj frekvencospacon :
(
ℏ
ω
−
ℏ
2
p
2
/
2
m
)
K
(
p
,
ω
)
=
1
{\displaystyle (\hbar \omega -\hbar ^{2}p^{2}/2m)K(\mathbf {p} ,\omega )=1}
Sekvas ke
K
(
p
,
ω
)
=
1
ℏ
ω
−
ℏ
2
p
2
/
2
m
{\displaystyle K(\mathbf {p} ,\omega )={\frac {1}{\hbar \omega -\hbar ^{2}p^{2}/2m}}}
Konvertu reen en pozicio- kaj tempospacon:
K
(
x
,
t
;
x
′
,
t
′
)
=
∫
d
3
k
d
ω
(
2
π
)
4
exp
(
i
(
k
⋅
(
x
−
x
′
)
−
ω
(
t
−
t
′
)
)
)
K
(
p
,
ω
)
{\displaystyle K(\mathbf {x} ,t;\mathbf {x} ',t')=\int {\frac {\operatorname {d} ^{3}\!\mathbf {k} \;\operatorname {d} \!\omega }{(2\pi )^{4}}}\exp(\mathrm {i} (\mathbf {k} \cdot (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')-\omega (t-t')))K(\mathbf {p} ,\omega )}
La integralo estas ambigua, ĉar la integralato havas poluson ĉe
ω
=
ℏ
p
2
/
2
m
{\displaystyle \omega =\hbar p^{2}/2m}
Oni devas malambiguigi la integralon per aldoni infinitezimon , sed du eblaj signoj ekzistas.
(Tial la propagilo ne estas unika.) Aldonu infinitezimon kaj ni povas kalkuli:
K
±
(
x
,
t
;
x
′
,
t
′
)
{\displaystyle K_{\pm }(\mathbf {x} ,t;\mathbf {x} ',t')}
=
∫
d
3
k
d
ω
(
2
π
)
4
exp
(
i
(
k
⋅
(
x
−
x
′
)
−
ω
(
t
−
t
′
)
)
)
1
ℏ
ω
±
i
ϵ
−
ℏ
2
p
2
/
2
m
{\displaystyle =\int {\frac {\operatorname {d} ^{3}\!\mathbf {k} \;\operatorname {d} \!\omega }{(2\pi )^{4}}}\exp(\mathrm {i} (\mathbf {k} \cdot (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')-\omega (t-t'))){\frac {1}{\hbar \omega \pm \mathrm {i} \epsilon -\hbar ^{2}p^{2}/2m}}}
=
∓
i
ℏ
θ
(
±
t
∓
t
′
)
(
m
2
π
i
ℏ
(
t
−
t
′
)
)
3
/
2
exp
(
i
m
2
ℏ
(
t
−
t
′
)
(
x
−
x
′
)
2
)
{\displaystyle =\mp {\frac {\mathrm {i} }{\hbar }}\theta (\pm t\mp t')\left({\frac {m}{2\pi \mathrm {i} \hbar (t-t')}}\right)^{3/2}\exp \left({\frac {\mathrm {i} m}{2\hbar (t-t')}}(\mathbf {x} -\mathbf {x} ')^{2}\right)}
kie
θ
(
x
)
=
{
1
se
x
>
0
0
se
x
<
0
{\displaystyle \theta (x)={\begin{cases}1&{\text{se }}x>0\\0&{\text{se }}x<0\end{cases}}}
signifas la hevisidan funkcion .
La funkcio
K
+
{\displaystyle K_{+}}
estinta (angle retarded ) propagilo, ĉar
K
+
(
x
,
t
;
x
′
,
t
′
)
{\displaystyle K_{+}(\mathbf {x} ,t;\mathbf {x} ',t')}
t
>
t
′
{\displaystyle t>t'}
K
−
{\displaystyle K_{-}}
estonta (angle advanced ) propagilo, ĉar
K
−
(
x
,
t
;
x
′
,
t
′
)
{\displaystyle K_{-}(\mathbf {x} ,t;\mathbf {x} ',t')}
t
<
t
′
{\displaystyle t<t'}
Ni uzas signokonvencion
+
−
−
−
{\displaystyle +---}
metriko , k.e.,
x
⋅
y
=
x
0
y
0
−
x
⋅
y
{\displaystyle x\cdot y=x^{0}y^{0}-\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} }
Relativeca skalara partiklo verigas la ekvacion de Klein-Gordon . Tial la propagilo
K
(
x
,
y
)
{\displaystyle K(x,y)}
funkcio de Green de la ekvacio de Klein-Gordon. Jen:
(
∂
2
+
m
2
)
K
(
x
,
y
)
=
−
δ
(
x
−
y
)
{\displaystyle (\partial ^{2}+m^{2})K(x,y)=-\delta (x-y)}
Pro solvi ĝin, konvertu en movokvantospacon :
(
p
2
−
m
2
)
K
(
p
)
=
1
{\displaystyle (p^{2}-m^{2})K(p)=1}
Do
K
(
p
)
=
1
p
2
−
m
2
{\displaystyle K(p)={\frac {1}{p^{2}-m^{2}}}}
Konvertu reen en poziciospacon:
K
(
x
,
y
)
=
∫
d
4
p
(
2
π
)
4
1
p
2
−
m
2
{\displaystyle K(x,y)=\int {\frac {\operatorname {d} ^{4}\!p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {1}{p^{2}-m^{2}}}}
La integralo estas ambigua, ĉar la integralato havas du polusojn ĉe
p
0
=
±
(
p
2
+
m
2
)
{\displaystyle p^{0}=\pm (\mathbf {p} ^{2}+m^{2})}
Oni devas malambiguigi la integralon per aldoni infinitezimon .
Laŭ teorio de kurba integralo , ni povas iri aŭ supren aŭ malsupren trans ĉiu poluso. Tial ekzistas kvar malsama metodoj malambiguigi la integralon; la propagilo ne estas unika.
Si ni iras supren trans ambaŭ polusoj, la estinta (angle retarded ) propagilo troviĝos:
K
R
(
x
,
y
)
=
∫
d
4
p
(
2
π
)
4
1
(
p
0
+
i
ϵ
)
2
−
p
2
−
m
2
{\displaystyle K_{\mathrm {R} }(x,y)=\int {\frac {\operatorname {d} ^{4}\!p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {1}{(p_{0}+\mathrm {i} \epsilon )^{2}-\mathbf {p} ^{2}-m^{2}}}}
=
{
(
−
δ
(
s
)
+
m
J
1
(
m
s
)
/
2
s
)
/
2
π
se
x
0
>
y
0
kaj
s
≥
0
0
alie
,
{\displaystyle ={\begin{cases}\left(-\delta (s)+m\operatorname {J} _{1}(m{\sqrt {s}})/2{\sqrt {s}}\right)/2\pi &{\text{se }}x^{0}>y^{0}{\text{ kaj }}s\geq 0\\0&{\text{alie}},\end{cases}}}
kie
J
1
{\displaystyle \operatorname {J} _{1}}
funkcion de Bessel de la unua speco kaj
s
=
(
x
−
y
)
2
{\displaystyle s=(x-y)^{2}}
estonta (angle advanced ) propagilo troviĝos:
K
A
(
x
,
y
)
=
∫
d
4
p
(
2
π
)
4
1
(
p
0
−
i
ϵ
)
2
−
p
2
−
m
2
{\displaystyle K_{\mathrm {A} }(x,y)=\int {\frac {\operatorname {d} ^{4}\!p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {1}{(p_{0}-\mathrm {i} \epsilon )^{2}-\mathbf {p} ^{2}-m^{2}}}}
=
{
(
−
δ
(
s
)
+
m
J
1
(
m
s
)
/
2
s
)
/
2
π
se
x
0
<
y
0
kaj
s
≥
0
0
alie
.
{\displaystyle ={\begin{cases}\left(-\delta (s)+m\operatorname {J} _{1}(m{\sqrt {s}})/2{\sqrt {s}}\right)/2\pi &{\text{se }}x^{0}<y^{0}{\text{ kaj }}s\geq 0\\0&{\text{alie}}.\end{cases}}}
Si ni iras malsupren trans la maldekstra poluso (ĉe
p
0
=
−
p
2
+
m
2
{\displaystyle p^{0}=-{\sqrt {\mathbf {p} ^{2}+m^{2}}}}
p
0
=
+
p
2
+
m
2
{\displaystyle p^{0}=+{\sqrt {\mathbf {p} ^{2}+m^{2}}}}
propagilo de Feynman troviĝos:
K
F
(
x
,
y
)
=
∫
d
4
p
(
2
π
)
4
exp
(
−
i
p
⋅
(
x
−
y
)
)
p
2
−
m
2
+
i
ϵ
{\displaystyle K_{\mathrm {F} }(x,y)=\int {\frac {\operatorname {d} ^{4}\!p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {\exp(-\mathrm {i} p\cdot (x-y))}{p^{2}-m^{2}+\mathrm {i} \epsilon }}}
=
{
(
−
δ
(
s
)
+
m
H
1
(
1
)
(
m
s
)
/
2
s
)
/
2
π
se
s
≥
0
−
i
m
K
1
(
m
−
s
)
/
(
4
π
2
−
s
)
se
s
<
0
,
{\displaystyle ={\begin{cases}\left(-\delta (s)+m\operatorname {H} _{1}^{(1)}(m{\sqrt {s}})/2{\sqrt {s}}\right)/2\pi &{\text{se }}s\geq 0\\-\mathrm {i} m\operatorname {K} _{1}(m{\sqrt {-s}})/(4\pi ^{2}{\sqrt {-s}})&{\text{se }}s<0,\end{cases}}}
kie
H
1
(
1
)
{\displaystyle \operatorname {H} _{1}^{(1)}}
funkcion de Hankel de la unua speco kaj
K
1
{\displaystyle \operatorname {K} _{1}}
modifitan funkcion de Bessel de la dua speco .
Si ni iras supren trans la maldekstra poluso kaj malsupren trans la dekstra poluso, la propagilo de Dyson troviĝos:
K
D
(
x
,
y
)
=
∫
d
4
p
(
2
π
)
4
exp
(
−
i
p
⋅
(
x
−
y
)
)
p
2
−
m
2
−
i
ϵ
{\displaystyle K_{\mathrm {D} }(x,y)=\int {\frac {\operatorname {d} ^{4}\!p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {\exp(-\mathrm {i} p\cdot (x-y))}{p^{2}-m^{2}-\mathrm {i} \epsilon }}}
=
{
(
−
δ
(
s
)
+
m
H
1
(
2
)
(
m
s
)
/
2
s
)
/
2
π
se
s
≥
0
i
m
K
1
(
m
−
s
)
/
(
4
π
2
−
s
)
se
s
<
0
,
{\displaystyle ={\begin{cases}\left(-\delta (s)+m\operatorname {H} _{1}^{(2)}(m{\sqrt {s}})/2{\sqrt {s}}\right)/2\pi &{\text{se }}s\geq 0\\\mathrm {i} m\operatorname {K} _{1}(m{\sqrt {-s}})/(4\pi ^{2}{\sqrt {-s}})&{\text{se }}s<0,\end{cases}}}
kie
H
1
(
2
)
{\displaystyle \operatorname {H} _{1}^{(2)}}
funkcion de Hankel de la dua speco .
La kvar propagiloj verigas la jenajn ekvaciojn.
K
R
+
K
A
=
K
F
+
K
D
{\displaystyle K_{\mathrm {R} }+K_{\mathrm {A} }=K_{\mathrm {F} }+K_{\mathrm {D} }}
K
R
(
x
−
y
)
=
K
A
(
y
−
x
)
{\displaystyle K_{\mathrm {R} }(x-y)=K_{\mathrm {A} }(y-x)}
K
F
(
x
−
y
)
=
K
F
(
y
−
x
)
=
K
D
(
x
−
y
)
∗
{\displaystyle K_{\mathrm {F} }(x-y)=K_{\mathrm {F} }(y-x)=K_{\mathrm {D} }(x-y)^{*}}
K
D
(
x
−
y
)
=
K
D
(
y
−
x
)
=
K
F
(
x
−
y
)
∗
{\displaystyle K_{\mathrm {D} }(x-y)=K_{\mathrm {D} }(y-x)=K_{\mathrm {F} }(x-y)^{*}}
Ankaŭe, la propagiloj esprimiĝas kun vakuaj atendataj valoroj de kampoperatoroj:
K
R
(
x
−
y
)
=
−
i
θ
(
x
0
−
y
0
)
⟨
0
|
[
ϕ
(
x
)
,
ϕ
(
y
)
]
|
0
⟩
{\displaystyle K_{\mathrm {R} }(x-y)=-\mathrm {i} \theta (x^{0}-y^{0})\langle 0|[\phi (x),\phi (y)]|0\rangle }
K
A
(
x
−
y
)
=
i
θ
(
y
0
−
x
0
)
⟨
0
|
[
ϕ
(
x
)
,
ϕ
(
y
)
]
|
0
⟩
{\displaystyle K_{\mathrm {A} }(x-y)=\mathrm {i} \theta (y^{0}-x^{0})\langle 0|[\phi (x),\phi (y)]|0\rangle }
K
F
(
x
−
y
)
=
−
i
⟨
0
|
T
{
ϕ
(
x
)
ϕ
(
y
)
}
|
0
⟩
=
−
i
θ
(
x
0
−
y
0
)
⟨
0
|
ϕ
(
x
)
ϕ
(
y
)
|
0
⟩
−
i
θ
(
y
0
−
x
0
)
⟨
0
|
ϕ
(
y
)
ϕ
(
x
)
|
0
⟩
{\displaystyle K_{\mathrm {F} }(x-y)=-\mathrm {i} \langle 0|{\mathsf {T}}\{\phi (x)\phi (y)\}|0\rangle =-\mathrm {i} \theta (x^{0}-y^{0})\langle 0|\phi (x)\phi (y)|0\rangle -\mathrm {i} \theta (y^{0}-x^{0})\langle 0|\phi (y)\phi (x)|0\rangle }
K
D
(
x
−
y
)
=
i
⟨
0
|
T
{
ϕ
(
x
)
ϕ
(
y
)
}
†
|
0
⟩
=
i
θ
(
x
0
−
y
0
)
⟨
0
|
ϕ
(
y
)
ϕ
(
x
)
|
0
⟩
+
i
θ
(
y
0
−
x
0
)
⟨
0
|
ϕ
(
x
)
ϕ
(
y
)
|
0
⟩
{\displaystyle K_{\mathrm {D} }(x-y)=\mathrm {i} \langle 0|{\mathsf {T}}\{\phi (x)\phi (y)\}^{\dagger }|0\rangle =\mathrm {i} \theta (x^{0}-y^{0})\langle 0|\phi (y)\phi (x)|0\rangle +\mathrm {i} \theta (y^{0}-x^{0})\langle 0|\phi (x)\phi (y)|0\rangle }
Por diraka partiklo
ψ
{\displaystyle \psi }
dirakan ekvacion
(
γ
⋅
∂
+
m
)
ψ
=
0
{\displaystyle (\gamma \cdot \partial +m)\psi =0}
oni difinas la propagilon simile:
(
γ
⋅
∂
+
m
)
K
(
x
−
y
)
=
δ
(
x
−
y
)
{\displaystyle (\gamma \cdot \partial +m)K(x-y)=\delta (x-y)}
En movokvantospaco:
K
F
(
p
)
=
1
γ
⋅
p
−
m
+
i
ϵ
=
γ
⋅
p
+
m
p
2
−
m
2
+
i
ϵ
{\displaystyle K_{\mathrm {F} }(p)={\frac {1}{\gamma \cdot p-m+\mathrm {i} \epsilon }}={\frac {\gamma \cdot p+m}{p^{2}-m^{2}+\mathrm {i} \epsilon }}}
por la propagilo de Feynman, ktp.
Por nulmasa vektora partiklo
A
{\displaystyle A}
fotono ), ekzistas pluraj eblaj gaŭĝoj . Simpla gaŭĝo estas la gaŭĝo de Lorenz
∂
⋅
A
=
0
{\displaystyle \partial \cdot A=0}
ekvaciojn de Maxwell kun gaŭĝfiksanta termo:
∂
2
A
μ
=
0
{\displaystyle \partial ^{2}A_{\mu }=0}
Oni difinas la propagilon simile:
∂
2
K
μ
ν
(
x
−
y
)
=
δ
(
x
−
y
)
{\displaystyle \partial ^{2}K_{\mu \nu }(x-y)=\delta (x-y)}
En movokvantospaco, la propagilo (de Feynman, ktp.) estas:
K
F
μ
ν
(
p
)
=
−
g
μ
ν
p
2
+
i
ϵ
{\displaystyle K_{\mathrm {F} \mu \nu }(p)={\frac {-g_{\mu \nu }}{p^{2}+\mathrm {i} \epsilon }}}
![{\displaystyle K_{\mathrm {R} }(x-y)=-\mathrm {i} \theta (x^{0}-y^{0})\langle 0|[\phi (x),\phi (y)]|0\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/036505ae3d0bf2545494d937bd228a56b756e2aa)
![{\displaystyle K_{\mathrm {A} }(x-y)=\mathrm {i} \theta (y^{0}-x^{0})\langle 0|[\phi (x),\phi (y)]|0\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c06d533041638b0711855c67b7e2a6195a40b22d)
