Seskvilineara formo

En matematiko, seskvilineara formo sur kompleksa vektora spaco V estas mapo V × V → C kiu estas lineara je unu argumento kaj konjuglineara je la alia. La nomo devenas de la latina "sesqui-" kies signifo estas "unu kaj duono".

Difino

Konvencioj diferenciĝas rilate al tio je kiu argumento la formo estas lineara. Ni prenu ke je la unua ĝi estu konjugita-lineara kaj la dua estu lineara. Ĉi tiu estas la konvencio uzata per fizikistoj kaj devenas de kvantummekaniko. La kontraŭa konvencio estas eble pli komuna en matematiko sed estas ne universala.

Funkcio $\phi :V\times V\to \mathbb {C}$ estas seskvilineara se

$\phi (x+y,z+w)=\phi (x,z)+\phi (x,w)+\phi (y,z)+\phi (y,w)\!$

$\phi (ax,by)={\overline {a}}\,b\,\phi (x,y)\!$

por ĉiuj x, y, z, w en V kaj ĉiuj a, b en C kie ${\overline {a}}$ estas kompleksa konjugito de a.

Motivado kaj propraĵoj

La simila estas dulineara funkcio, kiu estas lineara je ambaŭ argumentoj; kvankam multaj aŭtoroj, aparte laborante kun kompleksaj nombroj, nomas seskvilinearajn formojn kiel dulinearaj funkcioj.

Motivigo por enkonduko de seskvilinearaj formoj estas konsidero de la ena produto sur kompleksa vektora spaco, kiu estas ne dulineara, sed seskvilineara.

Dulinearaj funkcioj estas kvadratigantaj (z²), kaj seskvilinearaj formoj formas eŭklidajn normojn ($|z|^{2}={\overline {z}}z$). La normo asociita al seskvilineara formo estas invarianto sub multipliko per kompleksaj nombroj de absoluta valoro 1. Dulinearaj funkcioj estas algebre pli naturaj, dum kiam seskvilinearaj formoj estas geometrie pli naturaj.

Se b estas dulineara funkcio sur kompleksa vektora spaco kaj

|x|_b = b(x, x) estus la asociita normo, tiam

|ix|_b = b(ix, ix)=i² b(x,x) = -|x|_b kio estas negativa valoro por nenula x kaj kio ne konvenas al difino de normo, kiu devas esti ĉiam nenegativa.

Per kontrasto, se s estas seskvilineara formo sur kompleksa vektora spaco kaj

|x|_s = s(x, x) estas la asociita normo, tiam

$|ix|_{s}=s(ix,ix)={\overline {i}}is(x,x)=|x|_{s}$.

Se V estas finidimensia spaco de dimensio n, tiam respektive al ĉiu bazo {e_i} de V, seskvilineara formo s estas prezentita per n×n kvadrata matrico S:

$s(w,z)={\overline {\mathbf {w} ^{T}}}S\mathbf {z} =\mathbf {w} ^{*}S\mathbf {z}$

kie komponantoj de S estas donitaj per S_ij = s(e_i, e_j) kaj

w , z estas prezentoj kiel kolumnaj vektoroj de la vektoroj w, z en la bazo {e_i} kaj w^* estas la konjugita transpono de w .

Por donita seskvilineara formo φ sur V oni povas difini la alian seskvilinearan formon ψ per preno de kompleksa konjugito de ĝia valoro kaj interŝanĝo de la argumentoj:

$\psi (w,z)={\overline {\phi (z,w)}}$

Ĝenerale, φ kaj ψ estas malsamaj. Se ili estas la samaj tiam φ estas hermita, $\phi (w,z)={\overline {\phi (z,w)}}$. Se ili estas negativaj unu de la alia, tiam φ estas deklivo-hermita, $\phi (w,z)=-{\overline {\phi (z,w)}}$.

Ĉiu seskvilineara formo povas esti prezentita kiel sumo de hermita formo kaj deklivo-hermita formo.

$\phi (w,z)={1 \over 2}(\phi (w,z)+{\overline {\phi (w,z)}})+{1 \over 2}(\phi (w,z)-{\overline {\phi (w,z)}})$

Hermita formo

La termino hermita formo povas ankaŭ signifi la alian nocion de certa diferenciala formo sur hermita sternaĵo.

Hermita formo aŭ memadjunkta formo aŭ simetria seskvilineara formo estas seskvilineara formo h : V × V → C tia ke

$h(w,z)={\overline {h(z,w)}}$

La norma hermita formo sur Cⁿ estas

$\langle w,z\rangle =\sum _{i=1}^{n}{\overline {w_{i}}}z_{i}$

La ena produto sur ĉiu hilberta spaco estas hermita formo.

Vektora spaco kun hermita formo (V, h) estas nomata kiel hermita spaco.

Se V estas finidimensia spaco, tiam respektive al ĉiu bazo {e_i} de V, hermita formo estas prezentita per memadjunkta matrico H:

$h(w,z)=\mathbf {w} ^{*}H\mathbf {z}$

La kvadrata formo asociita al hermita formo

Q(z) = h(z, z)

estas ĉiam de reela valoro. Seskvilineara formo estas hermita se kaj nur se la asociita kvadrata formo estas reela por ĉiuj z en V.

Pozitive difinita hermita formo estas hermita formo tia ke por ĉiu z en V ĝia valoro estas nenegativa

h(z, z) ≥ 0

kaj ĝia valoro egalas al 0 se kaj nur se z=0. En finidimensia okazo ĉi tia formo estas donita per pozitive difinita memadjunkta matrico H.

Deklivo-hermita formo

Deklivo-hermita formo aŭ kontraŭmemadjunkta formo aŭ malsimetria seskvilineara formo, estas seskvilineara formo ε : V × V → C tia ke

$\varepsilon (w,z)=-{\overline {\varepsilon (z,w)}}$

Ĉiu deklivo-hermita formo povas esti skribita kiel certa hermita formo multiplikita je imaginara unuo i.

Se V estas finidimensia spaco, tiam respektive al ĉiu bazo {e_i} de V, deklivo-hermita formo estas prezentita per kontraŭmemadjunkta matrico A:

$\varepsilon (w,z)=\mathbf {w} ^{*}A\mathbf {z}$

La kvadrata formo asociita al deklivo-hermita formo

Q(z) = ε(z, z)

estas ĉiam de pure imaginara valoro.