Eŭklida geometrio

Eŭkida geometrio – klasika genero de geometrio priskribita unue de Eŭklido en verko Elementoj (en 3-a jarcento a.K.). Li kolektis tutan tiaman matematikan scion, kiuj konas Grekoj. Hodiaŭ lia verko estas konata kiel unua konata aksiomigado en historio de matematiko. Komence geometrio estis uzata nur en surfaco kaj tri dimensia spaco kunligante ĝin kun fizika mondo, kiu ĝi devis priskribi. Do samtempe ĝi ne ebligis esplori aliajn geometriojn.

Lernejo de Eŭkideso en Ateno
(Pentraĵo de Raffaello Sanzio, 1509)

Paĝo de vero Elementoj

Aliro de Eŭklido fruktis neordinaran fenomenon de matematika kulturo de antikva grekoj - teoremoj geometriaj ili tre ŝatis pruvi per cirkelo kaj rektilo. Alidire ili desegnis cirklojn kaj rektojn. Tiaj Baraĵoj hodiaŭ estas nomata kiel klasikaj konstruaĵoj. En 1833 j. oni pruvis, ke ĉiuj tiaj konstuaĵoj povas fari uzante nur rektojn, se estus donita unu cirklo kun konata mezo (Teoremo de Poncelet–Steiner) aŭ povas fari same nur uzante cirkelon (Teoremo de Mohr–Mascheroni).

Aksiomoj de Eŭklido

Eŭklida geometrio (ankaŭ tradicie nomata sinteza geometrio), prezentata estas kiel aksiomaro. Kaj ĉiuj alia teoremoj devas elflui el aksiomoj.

En sia verko Eŭklido prezentis kvin aksiomojn pri surfaco (kiu nomiĝas tial eŭklida surfaco):

1. Ajnaj du punktoj povas kunligi per rekta segmento.
2. Ajna segmento povas plilongigi nebarite (por havi rekto).
3. Por ajna segmento oni povas fari cirklo kun mezo en unu fino de la segmento kaj kun radiuso, kiu egalas al longeco de ĝi.
4. Ĉiuj ortaj anguloj estas kongruaj
5. Du rektoj, kiuj tranĉas la tiran tiel, ke sumo de enaj anguloj je unu flanko estas malpli ol du ortoj, tranĉoiĝos je ĉi tiu flanko.

Por geometrio en surfaco la kvina aksiomo a.n. aksiomo de Eŭklido aŭ aksiomo de paraleco povas esprimi ankaŭ tiel:

„Tra punkto povas desegni nur unu rekto kiu ne estas disa kun alia rekto (kiu ne trairas la punkton)”.