8-kvadrato
En matematiko, 8-kvadrato estas plurkvadrato de ordo 8, kio estas plurlatero en la ebeno el 8 egale ampleksaj kvadratoj koneksaj je latero al latero. Se turnadoj kaj reflektoj estas ne konsiderataj kiel generantaj malsamajn formojn, estas 369 malsamaj liberaj 8-kvadratoj. Se reflektoj estas konsiderataj kiel malsamaj, estas 704 unuflankaj 8-kvadratoj. Se ankaŭ turnoj estas konsiderataj kiel malsamaj, estas 2725 fiksitaj 8-kvadratoj.
Simetrio redakti
La bildo montras ĉiujn eblajn liberajn 8-kvadratojn, kolorigitajn laŭ iliaj simetriaj simetriaj grupoj:
- 316 8-kvadratoj (kolorigitaj grize) ne havas simetrion. Ilia geometria simetria grupo konsistas nur el la idento-bildigo.
- 23 8-kvadratoj (kolorigitaj ruĝe) havas akson de reflekta simetrio laŭ la kradolinioj. Ilia geometria simetria grupo havas du erojn, la identon kaj reflekton je linio paralela al la lateroj de la kvadratoj.
- 5 8-kvadratoj (kolorigitaj verde) havas akson de spegula simetrio je 45° al la kradolinioj. Ilia geometria simetria grupo havas du erojn, la identon kaj diagonalan reflekton.
- 18 8-kvadratoj (kolorigitaj blue) havas punktan simetrion, ankaŭ konatan kiel turna simetrio de ordo 2. Ilia geometria simetria grupo havas du erojn, la identon kaj la 180° turnadon.
.svg)
- 1 8-kvadrato (kolorigita flave) havas turnan simetrion de ordo 4. Ĝia geometria simetria grupo havas kvar eroj, la idento kaj la 90°, 180° kaj 270° turnadoj.
.svg){kind=small}
- 4 8-kvadratoj (kolorigitaj purpure) havas du aksojn de reflekta simetrio, ambaŭ laŭ la kradolinioj. Ilia geometria simetria grupo havas kvar erojn, la identon, du reflektojn kaj la 180° turnadon. Ĝi estas la duedra grupo de ordo 2, ankaŭ nomata kiel la kvar-grupo de Klein.
- 1 8-kvadrato (kolorigita oranĝkolore) havas du aksojn de reflekta simetrio, ambaŭ laŭ la diagonaloj. Ankaŭ ĝia geometria simetria grupo estas la duedra grupo de ordo 2 kun kvar eroj.
- 1 8-kvadrato (kolorigita blue-verde) havas kvar aksojn de reflekta simetrio, laŭ la kradolinioj kaj la diagonaloj, kaj turnan simetrion de ordo 4. Ĝia geometria simetria grupo, la duedra grupo de ordo 4, havas ok erojn.
La 8-kvadratoj estas la plurkvadratoj de la plej malalta ordo ĉe kiuj aperas ĉiuj ok eblaj simetrioj. La sekvaj pli altaj kun ĉi tiu propraĵo estas la 12-kvadratoj.
Se reflektoj de 8-kvadrato estas konsiderita malsamaj, kiel ili estas ĉe unuflankaj 8-kvadratoj, do la unua, kvara kaj kvina kategorioj pli supre duobliĝas je kvanto, rezultante en superfluaj 335 8-kvadratoj por entute 704 8-kvadratoj. Se ankaŭ turnadoj estas konsiderataj kiel malsamaj, do la 8-kvadratoj de la unua kategorio kalkulatas okoble, la aĵoj de la sekvaj tri kategorioj kalkulatas kvaroble, la aĵoj de kategorioj kvin al sep kalkulatas duoble, kaj la lasta 8-kvadrato kalkulatas nur unuoble. Ĉi tio rezultas je 316 × 8 + (23+5+18) × 4 + (1+4+1) × 2 + 1 = 2725 fiksitaj 8-kvadratoj.
Pakado kaj kahelado redakti
6 8-kvadratoj havas truon. Tiel bagatele la plena aro de 8-kvadratoj ne povas esti pakita en ortangulon, kaj ne ĉiuj 8-kvadratoj povas kaheli ebenon. Tamen, 343 liberaj 8-kvadratoj, kio estas ĉiuj krom 26, kahelas ebenon.
Vidu ankaŭ redakti
Eksteraj ligiloj redakti
- Redelmeier, D. Hugh (1981). Counting polyominoes: yet another attack - Kalkulo de plurkvadratoj: ankoraŭ alia atako. Discrete Mathematics - Diskreta Matematiko 36 191–203. COI:10.1016/0012-365X(81)90237-5.
- Eric W. Weisstein, 8-kvadrato en MathWorld.