Matrica normo

En matematiko, matrica normo estas vastigaĵo de nocio de vektora normo al matricoj.

Proprecoj

Estu K reelaj aŭ kompleksaj nombroj. Konsideru spacon K^m×n de ĉiuj matricoj kun m linioj kaj n kolumnoj kun elementoj en K.

Matrica normo sur K^m×n kontentigas ĉiujn propraĵojn de vektora normo. Tio estas ke se ||A|| estas la normo de matrico A, do:

• ||A|| ≥ 0
• ||A|| = 0 se kaj nur se A=0
• ||αA|| = α||A|| por ĉiu α en K kaj ĉiu A en K^m×n
• ||A+B|| ≤ ||A||+||B|| por ĉiuj A kaj B en K^m×n

Aldone, iuj matricaj normoj difinita sur kvadrataj n-per-n matricoj (sed ne ĉiuj tiaj normoj) kontentigas iujn el jenaj kondiĉoj kiuj rilatas al tio ke matricoj estas pli ol ĝuste vektoroj:

• ||AB|| ≤ ||A|| ||B|| por ĉiuj A kaj B en K^n×n
• ||A|| = ||A^*|| por ĉiu A en K^n×n, kie A^* estas la konjugita transpono de A, aŭ simple la transpono, por reela matrico

Matrica normo kiu kontentigas la unuan el la aldonaj propraĵoj estas sub-multiplika normo. La aro de ĉiuj n-per-n matricoj kune kun ĉi tia sub-multiplika normo estas ekzemplo de banaĥa algebro. En iu libroj la termino matrica normo estas uzata nur por ĉi tiaj sub-multiplikaj normoj.

Konkludita normo

Se vektora normo sur K^m kaj Kⁿ estas donita, tiam oni difinas la respektivan konkluditan normon aŭ operatoran normon sur la spaco de m-per-n matricoj:

${\begin{aligned}\|A\|&=\max\{\|Ax\|:x\in K^{n}{\mbox{ kun }}\|x\|\leq 1\}\\&=\max\{\|Ax\|:x\in K^{n}{\mbox{ kun }}\|x\|=1\}\\&=\max \left\{{\frac {\|Ax\|}{\|x\|}}:x\in K^{n}{\mbox{ kun }}x\neq 0\right\}.\end{aligned}}$

Se m=n kaj estas uzata la sama normo por x kaj Ax, tiam la konkludita normo estas sub-multiplika matrica normo.

Ekzemple, la konkludita normo respektiva al la p-normo por vektoroj estas:

$\left\|A\right\|_{p}=\max \limits _{x\neq 0}{\frac {\left\|Ax\right\|_{p}}{\left\|x\right\|_{p}}}.$

Se p=1:

$\|A\|_{1}=\max \limits _{1\leq j\leq n}\sum _{i=1}^{m}|a_{ij}|$

Se p=∞:

$\|A\|_{\infty }=\max \limits _{1\leq i\leq m}\sum _{j=1}^{n}|a_{ij}|$

Ĉi tiuj normoj estas malsamaj de la p-normoj de Schatten por matricoj, ankaŭ kiuj estas kutime skribataj kiel $\left\|A\right\|_{p}.$

En la speciala okazo de p=2 (la eŭklida normo) kaj m=n (kvadrata matrico), la konkludita matrica normo estas la spektra normo. La spektra normo de matrico A estas la plej granda singulara valoro de A aŭ la kvadrata radiko de la plej granda ejgeno de la pozitive duondifina matrico A^*A:

$\left\|A\right\|_{2}={\sqrt {\lambda _{\text{max}}(A^{*}A)}}$

Ĉiu konkludita normo verigas neegalaĵon

$\left\|A\right\|\geq \rho (A),$

kie ρ(A) estas la spektra radiuso de A. Fakte, ρ(A) estas la preciza malsupra rando de ĉiuj konkludita normoj de A.

Plue

$\lim _{r\rightarrow \infty }\|A^{r}\|^{1/r}=\rho (A).$

Laŭelementaj normoj

Ĉi tiu normoj traktas la matricon kiel vektoro de mn elementoj, kaj uzas iun el la vektoraj normoj.

Ekzemple, uzante la p-normo por vektoroj estas:

$\Vert A\Vert _{p}={\Big (}\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}|a_{ij}|^{p}{\Big )}^{1/p}.\,$

Noto ke laŭelementa p normo estas malsamo de konkludita p normo.

Normo de Frobenius

Por p=2, ĉi tiu normo estas nomata kiel la normo de Frobenius aŭ la normo de Hilberto-Schmidt, kvankam la lasta termino estas ofte rezervata por operatoroj sur hilberta spaco. Ĉi tiu normo povas esti difinita diversmaniere:

$\|A\|_{F}^{2}=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}|a_{ij}|^{2}=\operatorname {spuro} (A^{\ast }{}A)=\sum _{i=1}^{\min\{m,\,n\}}\sigma _{i}^{2}$

kie A^* estas la konjugita transpono de A, σ_i estas la singularaj valoroj de A, kaj la spuro estas uzata. La normo de Frobenius estas tre simila al la eŭklida normo sur Kⁿ kaj venas de ena produto sur la spaco de ĉiuj matricoj.

La normo de Frobenius estas sub-multiplika kaj estas tre utila por cifereca lineara algebro. Ĉi tiu normo estas ofte pli simpla por komputi ol konkluditaj normoj.

Spura normo

La spura normo estas difinita kiel

$\|A\|_{tr}=\operatorname {spuro} ({\sqrt {A^{*}A}})=\sum _{i=1}^{\min\{m,\,n\}}\sigma _{i}.$

Maksimuma normo

La maksimuma normo estas difinita kiel $\|A\|_{max}=\max\{|a_{ij}|\}.$

Konsekvenca normo

Matrica normo $\|\cdot \|_{ab}$ sur K^m×n estas konsekvenca kun vektora normo $\|\cdot \|_{a}$ sur Kⁿ kaj vektora normo $\|\cdot \|_{b}$ sur K^m se:

$\|Ax\|_{b}\leq \|A\|_{ab}\|x\|_{a}$

por ĉiuj A en K^m×n kaj x en Kⁿ. Ĉiu konkludita normo estas konsekvenca laŭ difino.

Ekvivalenteco de normoj

Por ĉiuj du vektoraj normoj ||·||_α kaj ||·||_β

r ||A||_α ≤ ||A||_β ≤ s ||A||_α

por iuj pozitivaj nombroj r kaj s, kaj por ĉiuj matricoj A en K^m×n. En aliaj vortoj, ili estas ekvivalentaj normoj; ili donas la saman topologion sur K^m×n.

Iuj ekvivalentecoj de normoj

Por matrico A en R^m×n jenaj neegalaĵoj veras:

• $\|A\|_{2}\leq \|A\|_{F}\leq {\sqrt {n}}\|A\|_{2}$
• $\|A\|_{max}\leq \|A\|_{2}\leq {\sqrt {mn}}\|A\|_{max}$
• ${\frac {1}{\sqrt {n}}}\|A\|_{\infty }\leq \|A\|_{2}\leq {\sqrt {m}}\|A\|_{\infty }$
• ${\frac {1}{\sqrt {m}}}\|A\|_{1}\leq \|A\|_{2}\leq {\sqrt {n}}\|A\|_{1}$
• $\|A\|_{2}\leq {\sqrt {\|A\|_{1}\|A\|_{\infty }}}$

Eksteraj ligiloj

• [1] Arkivigite je 2008-01-08 per la retarkivo Wayback Machine L. Thomas. Normoj kaj kondiĉaj nombroj de matrico