Kontraŭmemadjunkta matrico

En lineara algebro, kontraŭ-memadjunkta matrico aŭ deklivo-memadjunkta matrico estas kvadrata matrico A konjugita transpono de kiu A^* estas egala al ĝia negativo:

A^* = - A

aŭ en komponanto formo, se A = (a_i,j), ĉiu elemento estas egala al negativo de kompleksa konjugito de elemento en situo simetria respektive al la ĉefdiagonalo:

$a_{i,j}=-{\overline {a_{j,i}}}$

por ĉiuj i kaj j.

Ekzemploj

Ekzemple, jena matrico estas kontraŭmemadjunkta:

${\begin{pmatrix}i&2+i\\-2+i&3i\end{pmatrix}}$

Propraĵoj

• Ĉiuj ejgenoj de kontraŭmemadjunkta matrico estas pure imaginaraj. Kontraŭmemadjunkta matrico estas normala. De ĉi tie kontraŭmemadjunkta matrico estas diagonaligebla kaj ĝiaj ejgenvektoroj por malsamaj ejgenoj devas esti perpendikulara.
• Ĉiuj elementoj sur ĉefdiagonalo de kontraŭmemadjunkta matrico estas pure imaginaraj.
• Se A estas kontraŭmemadjunkta, tiam iA estas memadjunkta matrico.
• Se A, B estas kontraŭmemadjunktaj, tiam aA + bB estas kontraŭmemadjunkta por ĉiuj reelaj nombroj a, b.
• Se A estas kontraŭmemadjunkta, tiam A^2k estas Hermita por ĉiuj pozitivaj entjeroj k.
• Se A estas kontraŭmemadjunkta, tiam ĝia potenco Aⁿ kun nepara n estas kontraŭmemadjunkta.
• Se A estas kontraŭmemadjunkta, tiam ĝia eksponento e^A estas unita matrico.
• Por ĉiu kvadrata matrico C, la diferenco de ĝi kaj ĝia konjugita transpono C - C^* estas kontraŭmemadjunkta.
• Ĉiu kvadrata matrico C povas esti skribita kiel sumo de memadjunkta matrico A kaj kontraŭmemadjunkta matrico B:

$C=A+B\quad {\mbox{ kie }}\quad A={\frac {1}{2}}(C+C^{*})\quad {\mbox{ kaj }}\quad B={\frac {1}{2}}(C-C^{*}).$

Vidu ankaŭ

• Simetria matrico
• Kontraŭsimetria matrico
• Memadjunkta matrico
• Normala matrico