Normala matrico

En lineara algebro, normala matrico estas kvadrata matrico kun kompleksaj elementoj kiu komutiĝas kun sia konjugita transpono:

A^*A=AA^*

kie A^* estas la konjugita transpono de A.

Se A estas reela matrico, tiam A^*=A^T kaj matrico estas normala se A^TA = AA^T.

Normaleco estas oportuna provo por diagonaligebleco: ĉiu normala matrico povas esti konvertita al diagonala matrico per unita konverto, kaj ĉiu matrico kiu povas esti farita diagonalan per unita konverto estas ankaŭ normala, sed trovo de la dezirata konverto estas multe pli granda laboro ol simple testado ĉu la matrico estas normala.

Specialaj okazoj

Inter kompleksaj matricoj, ĉiu unita matrico, memadjunkta matrico kaj deklivo-memadjunkta matrico estas normala. Se A estas unita, tiam A^*A = AA^* = I. Se A estas Hermita, tiam A^*=A kaj do AA^*=AA= A^*A. Ankaŭ, inter reelaj matricoj, ĉiu orta matrico, simetria matrico kaj kontraŭsimetria matrico estas normala.

Se A estas ambaŭ triangula matrico kaj normala matrico, tiam A estas diagonala matrico. Ĉi tiu povas vidiĝi per rigardo je la diagonalaj elementoj de A^*A kaj AA^*.

Tamen, ne veras ke ĉiu normala matrico estas unita, memadjunkta aŭ deklivo-memadjunkta. Ekzemple matrico

$A={\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\\1&0&1\end{pmatrix}}$

estas normala ĉar

$AA^{*}={\begin{pmatrix}2&1&1\\1&2&1\\1&1&2\end{pmatrix}}=A^{*}A$.

La matrico A estas nek unita nek memadjunkta nek deklivo-memadjunkta.

La sumo kaj produto de du normalaj matricoj ĝenerale ne estas normala.

Konsekvencoj

La koncepto de normaleco estas grava ĉar normalaj matricoj estas precize tiuj al kiu la spektra teoremo aplikas: matrico A estas normala se kaj nur se ĝi povas esti prezentita per diagonala matrico Λ kaj unita matrico U kiel

A=UΛU^*

kie Λ=diag(λ₁, λ₂, ...) ,

U^*U=UU^*=I

La elementoj λ de diagonala matrico Λ estas la ejgenoj de A, kaj la kolumnoj de U estas la ejgenvektoroj de A. La ejgenoj en Λ estas en la sama ordo kiel la respektivaj ejgenvektoroj en kiel kolumnoj de U.

Ĝenerale, la sumo aŭ produto de du normalaj matricoj ne nepre estas normala. Tamen, estas speciala okazo: se A kaj B estas normalaj kaj AB = BA, tiam ambaŭ AB kaj A+B estas ankaŭ normala. Plue la A kaj B estas samtempe diagonaligeblaj, tio estas: ambaŭ A kaj B estas farita diagonalajn per la sama unita matrico U. Ambaŭ UAU^* kaj UBU^* estas diagonalaj matricoj. En ĉi tiu speciala okazo, la kolumnoj de U^* estas ejgenvektoroj de ambaŭ A kaj B.

Ĉiu kvadrata matrico A havas polusa malkomponaĵo A = UP kie U estas unita matrico kaj P estas pozitive duondifinita matrico. Se A estas inversigebla, tiam U kaj P estas unikaj. Se A estas normala, tiam UP = PU. (La reo estas vera nur en la finidimensia okazo.)

Analogeco

Ofte utilas havi analogecan interrilaton inter specoj de normalaj matricoj kaj specoj de kompleksaj nombroj:

• Inversigebla matrico estas analoga al ne-nula kompleksa nombro
• La konjugita transpono estas analoga al la kompleksa konjugito
• Unita matrico estas analoga al kompleksa nombro kies absoluta valoro estas 1
• Memadjunkta matrico estas analoga al reela nombro
• Memadjunkta pozitive difinita matrico estas analoga al pozitiva reela nombro
• Deklivo-memadjunkta matrico estas analoga al pure imaginara nombro