Lejbnica alĝebro

En algebro, la Lejbnica alĝebro estas ĝeneraligo de la koncepto de alĝebro de Lie, kies krampo povas esti ne malsimetria.

Difino

Se $K$ estas komuta ringo, do dekstra Lejbnica alĝebro super $K$ estas modulo ${\mathfrak {g}}$ super $K$, ekipita per la dulineara dekstra Lejbnica krampo

$[-,-]\colon {\mathfrak {g}}\otimes _{K}{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}$,

kiu plenumas la jenan dekstran Lejbnican identecon:

$[[a,b],c]=[a,[b,c]]+[[a,c],b]$.

Alinotacie, se oni difinas la dekstran adjunktan agon

$\operatorname {ad} _{a}\colon x\mapsto [x,a]$,

do la lejbnica identeco estiĝas jen:

$\operatorname {ad} _{c}[a,b]=[a,\operatorname {ad} _{c}b]+[\operatorname {ad} _{c}a,b]$.

T.e. la dekstra adjunkta ago estas derivoperatoro por la krampo.

Simile, maldekstra Lejbnica alĝebro ${\mathfrak {g}}$ super $K$ estas modulo ${\mathfrak {g}}$ super $K$, ekipita per la dulineara maldekstra Lejbnica krampo

$[-,-]\colon {\mathfrak {g}}\otimes _{K}{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}$,

kiu plenumas la jenan maldekstran Lejbnican identecon:

$[a,[b,c]]=[[a,b],c]+[b,[a,c]]$.

Alinotacie, se oni difinas la maldekstran adjunktan agon

$\operatorname {ad} _{a}\colon x\mapsto [a,x]$,

do la lejbnica identeco estiĝas jen:

$\operatorname {ad} _{c}[a,b]=[\operatorname {ad} _{c}a,b]+[a,\operatorname {ad} _{c}b]$.

T.e. la maldekstra adjunkta ago estas derivoperatoro por la krampo.

La konceptoj de la dekstra kaj maldekstra Lejbnicaj alĝebroj estas ekvivalentaj: se $({\mathfrak {g}},[-,-]_{\text{deks}})$ estas dekstra Lejbnica alĝebro, do oni povas difini

$[x,y]_{\text{mald}}=[y,x]_{\text{deks}}$,

tia ke $({\mathfrak {g}},[-,-]_{\text{mald}})$ estas maldekstra Lejbnica alĝebro; kaj male simile. Tial, ordinare, oni parolas pri la dekstra Lejbnica alĝebro simple kiel “Lejbnica alĝebro” pro konveno.

Ekzemploj

Ĉiu alĝebro de Lie estas Lejbnica alĝebro. Super komuta korpo, se Lejbnica alĝebro havas malsimetrian krampon, do ĝi estas alĝebro de Lie.

Historio

La koncepton de Lejbnica alĝebro difinis la rusa matematikisto A. Bloĥ (ruse А. Блох) en 1965, kiu nomis ĝin “D-alĝebro”. Tamen, la koncepto ne vaste konatiĝis. Posten en 1993, la franca matematikisto Jean-Louis Loday remalkovris la koncepton, kaj donis al ĝi ĝian nunan nomon, en 1993. La nuna nomo estas laŭ la germana matematikisto Gottfried Leibniz (Esperante Godfredo Lejbnico).

Eksteraj ligiloj

• Leibniz algebra (angle). nLab.