Multipliko je naturalo estas iteraciita adicio:
a
b
=
a
+
a
+
⋯
+
a
⏟
b
kopioj de
a
.
{\displaystyle {\begin{matrix}ab&=&\underbrace {a+a+\dots +a} \\&&b{\mbox{ kopioj de }}a\end{matrix}}.}
Ekzemple,
Io
3
×
2
=
3
+
3
⏟
=
6
2
kopioj de
3
.
{\displaystyle {\begin{matrix}3\times 2&=&\underbrace {3+3} &=&6\\&&2{\mbox{ kopioj de }}3\end{matrix}}.}
Same, potencigo je natura nombro estas iteraciita multipliko:
a
↑
b
=
a
b
=
a
×
a
×
⋯
×
a
⏟
b
kopioj de
a
.
{\displaystyle {\begin{matrix}a\uparrow b=a^{b}=&\underbrace {a\times a\times \dots \times a} \\&b{\mbox{ kopioj de }}a\end{matrix}}.}
Ekzemple:
3
↑
2
=
3
2
=
3
×
3
⏟
=
9
2
kopioj de
3
.
{\displaystyle {\begin{matrix}3\uparrow 2=3^{2}=&\underbrace {3\times 3} &=&9\\&2{\mbox{ kopioj de }}3\end{matrix}}.}
Notu, kiel suprenindikilo estas uzata por potencigo. Similmaniere, Knuth difinis la operacion de duobla suprenindikilo:
a
↑↑
b
=
b
a
=
a
a
.
.
.
a
⏟
=
a
↑
a
↑
⋯
↑
a
⏟
b
kopioj de
a
b
kopioj de
a
{\displaystyle {\begin{matrix}a\uparrow \uparrow b&={\ ^{b}a}=&\underbrace {a^{a^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{a}}}}}}} &=&\underbrace {a\uparrow a\uparrow \dots \uparrow a} \\&&b{\mbox{ kopioj de }}a&&b{\mbox{ kopioj de }}a\end{matrix}}}
Ekzemple:
3
↑↑
2
=
2
3
=
3
3
⏟
=
3
↑
3
⏟
=
27
2
kopioj de
3
2
kopioj de
3
.
{\displaystyle {\begin{matrix}3\uparrow \uparrow 2&={\ ^{2}3}=&\underbrace {3^{3}} &=&\underbrace {3\uparrow 3} &=&27\\&&2{\mbox{ kopioj de }}3&&2{\mbox{ kopioj de }}3\end{matrix}}.}
Notu, ke tie ĉi kaj plu la nombroj estas kalkulitaj kaj transformitaj de dekstre maldekstren. Laŭ tiu ĉi difino,
3
↑↑
2
=
3
3
=
27
{\displaystyle 3\uparrow \uparrow 2=3^{3}=27}
3
↑↑
3
=
3
3
3
=
3
27
=
7625597484987
{\displaystyle 3\uparrow \uparrow 3=3^{3^{3}}=3^{27}=7625597484987}
3
↑↑
4
=
3
3
3
3
=
3
7625597484987
{\displaystyle 3\uparrow \uparrow 4=3^{3^{3^{3}}}=3^{7625597484987}}
terabajtojn de diska spaco, t. e.
7
,
625
,
597
,
484
,
987
×
log
3
log
2
{\displaystyle 7,625,597,484,987\times {\frac {\log 3}{\log 2}}}
bitojn )
3
↑↑
5
=
3
3
3
3
3
=
3
3
7625597484987
{\displaystyle 3\uparrow \uparrow 5=3^{3^{3^{3^{3}}}}=3^{3^{7625597484987}}}
ktp. Eĉ tiuj ĉi nombroj jam estas enormaj, sed Knuth plu disvolvis la notacion, difininte operatoron de triobla suprenindikilo:
a
↑↑↑
b
=
a
↑↑
a
↑↑
⋯
↑↑
a
⏟
b
kopioj de
a
{\displaystyle {\begin{matrix}a\uparrow \uparrow \uparrow b=&\underbrace {a_{}\uparrow \uparrow a\uparrow \uparrow \dots \uparrow \uparrow a} \\&b{\mbox{ kopioj de }}a\end{matrix}}}
kaj poste kvarobla suprenindikilo:
a
↑↑↑↑
b
=
a
↑↑↑
a
↑↑↑
⋯
↑↑↑
a
⏟
b
kopioj de
a
{\displaystyle {\begin{matrix}a\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow b=&\underbrace {a_{}\uparrow \uparrow \uparrow a\uparrow \uparrow \uparrow \dots \uparrow \uparrow \uparrow a} \\&b{\mbox{ kopioj de }}a\end{matrix}}}
kaj tiel plu.
La ĝenerala regulo estas ke operatoro de
n
{\displaystyle n}
n
−
1
{\displaystyle n-1}
a
↑
↑
…
↑
⏟
b
=
a
↑
…
↑
⏟
a
↑
…
↑
⏟
a
…
a
↑
…
↑
⏟
a
n
n
−
1
n
−
1
n
−
1
⏟
b
kopioj de
a
{\displaystyle {\begin{matrix}a\ \underbrace {\uparrow _{}\uparrow \!\!\dots \!\!\uparrow } \ b=a\ \underbrace {\uparrow \!\!\dots \!\!\uparrow } \ a\ \underbrace {\uparrow _{}\!\!\dots \!\!\uparrow } \ a\ \dots \ a\ \underbrace {\uparrow _{}\!\!\dots \!\!\uparrow } \ a\\\quad \ \ \,n\qquad \ \ \ \underbrace {\quad n_{}\!-\!\!1\quad \ \,n\!-\!\!1\qquad \quad \ \ \ \,n\!-\!\!1\ \ \ } \\\qquad \qquad \quad \ \ b{\mbox{ kopioj de }}a\end{matrix}}}
Ekzemploj:
3
↑↑↑
2
=
3
↑↑
3
=
3
3
3
=
3
27
=
7
,
625
,
597
,
484
,
987
{\displaystyle 3\uparrow \uparrow \uparrow 2=3\uparrow \uparrow 3=3^{3^{3}}=3^{27}=7,625,597,484,987}
3
↑↑↑
3
=
3
↑↑
3
↑↑
3
=
3
↑↑
(
3
↑
3
↑
3
)
=
3
↑
3
↑
⋯
↑
3
⏟
3
↑
3
↑
3
kopioj de
3
=
3
↑
3
↑
⋯
↑
3
⏟
7,625,597,484,987 kopioj de 3
{\displaystyle {\begin{matrix}3\uparrow \uparrow \uparrow 3=3\uparrow \uparrow 3\uparrow \uparrow 3=3\uparrow \uparrow (3\uparrow 3\uparrow 3)=&\underbrace {3_{}\uparrow 3\uparrow \dots \uparrow 3} \\&3\uparrow 3\uparrow 3{\mbox{ kopioj de }}3\end{matrix}}{\begin{matrix}=&\underbrace {3_{}\uparrow 3\uparrow \dots \uparrow 3} \\&{\mbox{7,625,597,484,987 kopioj de 3}}\end{matrix}}}
Formale, la Suprenindikila Notacio de Knuth difineblas jene:
a
↑
n
b
=
{
a
b
,
se
n
=
1
;
1
,
se
b
=
0
;
a
↑
n
−
1
(
a
↑
n
(
b
−
1
)
)
,
aliokaze
{\displaystyle a\uparrow ^{n}b=\left\{{\begin{matrix}a^{b},&{\mbox{se }}n=1;\\1,&{\mbox{se }}b=0;\\a\uparrow ^{n-1}(a\uparrow ^{n}(b-1)),&{\mbox{aliokaze}}\end{matrix}}\right.}
por ĉiuj
a
,
b
,
n
{\displaystyle a,b,n}
b
≥
0
,
n
≥
1
{\displaystyle b\geq 0,n\geq 1}
La funkcio estas Dekstre-asocia , t.e. oni transformas ĝin de dekstre maldekstren, kaj en formulo, en kiu estas du aŭ pli da tiaj operatoroj, oni unue grupas la plej dekstrajn. Ekzemple,
a
↑
b
↑
c
=
a
↑
(
b
↑
c
)
{\displaystyle a\uparrow b\uparrow c=a\uparrow (b\uparrow c)}
(
a
↑
b
)
↑
c
{\displaystyle (a\uparrow b)\uparrow c}
Se estus alie, la funkcio estus nenio pli nova ol ripeta potencigo. Ekzemple,
3
↑↑
3
=
3
3
3
{\displaystyle 3\uparrow \uparrow 3=3^{3^{3}}}
3
(
3
3
)
=
3
27
=
7625597484987
{\displaystyle 3^{(3^{3})}=3^{27}=7625597484987}
(
3
3
)
3
=
27
3
=
19683
{\displaystyle \left(3^{3}\right)^{3}=27^{3}=19683}
Se oni skribas
(
a
↑
m
)
b
{\displaystyle (a\uparrow ^{m})^{b}}
b -a funkcia potenco de la funkcio
f
(
n
)
=
a
↑
m
n
{\displaystyle f(n)=a\uparrow ^{m}n}
a
↑
n
b
=
(
a
↑
n
−
1
)
b
1
{\displaystyle a\uparrow ^{n}b=(a\uparrow ^{n-1})^{b}1}
Kalkuladoj de
2
↑
m
n
{\displaystyle 2\uparrow ^{m}n}
n en la unuan horizontalan vicon kaj la valorojn de m en la unuan kolumnon. Jen la rezulta tabelo:
Valoroj de
2
↑
m
n
{\displaystyle 2\uparrow ^{m}n}
hyper (2, m + 2, n ) = 2 → n → m
m \n
1
2
3
4
5
6
7
formula
0
2
4
6
8
10
12
14
2
n
{\displaystyle 2n}
1
2
4
8
16
32
64
128
2
n
{\displaystyle 2^{n}}
2
2
4
16
65536
2
65536
≈
2.0
×
10
19
,
729
{\displaystyle 2^{65536}\approx 2.0\times 10^{19,729}}
2
2
65536
≈
10
6.0
×
10
19
,
728
{\displaystyle 2^{2^{65536}}\approx 10^{6.0\times 10^{19,728}}}
2
2
2
65536
≈
10
10
6.0
×
10
19
,
728
{\displaystyle 2^{2^{2^{65536}}}\approx 10^{10^{6.0\times 10^{19,728}}}}
2
↑↑
n
{\displaystyle 2\uparrow \uparrow n}
3
2
4
65536
2
2
.
.
.
2
⏟
65536
kopioj de
2
≈
(
10
↑
)
65531
(
6.0
×
10
19
,
728
)
{\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {2_{}^{2^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{2}}}}}}} \\65536{\mbox{ kopioj de }}2\end{matrix}}\approx (10\uparrow )^{65531}(6.0\times 10^{19,728})}
2
↑↑↑
n
{\displaystyle 2\uparrow \uparrow \uparrow n}
4
2
4
2
2
.
.
.
2
⏟
65536
kopioj de
2
{\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {2_{}^{2^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{2}}}}}}} \\65536{\mbox{ kopioj de }}2\end{matrix}}}
2
↑↑↑↑
n
{\displaystyle 2\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow n}
Jen simila tabelo por
3
↑
m
n
{\displaystyle 3\uparrow ^{m}n}
Valoroj de
3
↑
m
n
{\displaystyle 3\uparrow ^{m}n}
3
↑
m
n
{\displaystyle 3\uparrow ^{m}n}
hyper (3, m + 2, n ) = 3 → n → m
m \n
1
2
3
4
5
formula
0
3
6
9
12
15
3
n
{\displaystyle 3n}
1
3
9
27
81
243
3
n
{\displaystyle 3^{n}}
2
3
27
7,625,597,484,987
3
7
,
625
,
597
,
484
,
987
{\displaystyle 3^{7,625,597,484,987}}
3
↑↑
n
{\displaystyle 3\uparrow \uparrow n}
3
3
7,625,597,484,987
3
3
.
.
.
3
⏟
7
,
625
,
597
,
484
,
987
kopioj de
3
{\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {3_{}^{3^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{3}}}}}}} \\7,625,597,484,987{\mbox{ kopioj de }}3\end{matrix}}}
3
↑↑↑
n
{\displaystyle 3\uparrow \uparrow \uparrow n}
4
3
3
3
.
.
.
3
⏟
7
,
625
,
597
,
484
,
987
kopioj de
3
{\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {3_{}^{3^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{3}}}}}}} \\7,625,597,484,987{\mbox{ kopioj de }}3\end{matrix}}}
3
↑↑↑↑
n
{\displaystyle 3\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow n}
kaj simile por
10
↑
m
n
{\displaystyle 10\uparrow ^{m}n}
Valoroj de
10
↑
m
n
{\displaystyle 10\uparrow ^{m}n}
hyper (10, m + 2, n ) = 10 → n → m
m \n
1
2
3
4
5
formula
0
10
20
30
40
50
10
n
{\displaystyle 10n}
1
10
100
1,000
10,000
100,000
10
n
{\displaystyle 10^{n}}
2
10
10,000,000,000
10
10
,
000
,
000
,
000
{\displaystyle 10^{10,000,000,000}}
10
10
10
,
000
,
000
,
000
{\displaystyle 10^{10^{10,000,000,000}}}
10
10
10
10
,
000
,
000
,
000
{\displaystyle 10^{10^{10^{10,000,000,000}}}}
10
↑↑
n
{\displaystyle 10\uparrow \uparrow n}
3
10
10
10
.
.
.
10
⏟
10
kopioj de
10
{\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {10_{}^{10^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{10}}}}}}} \\10{\mbox{ kopioj de }}10\end{matrix}}}
10
10
.
.
.
10
⏟
10
10
kopioj de
10
{\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {10_{}^{10^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{10}}}}}}} \\10^{10}{\mbox{ kopioj de }}10\end{matrix}}}
10
10
.
.
.
10
⏟
10
10
10
kopioj de
10
{\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {10_{}^{10^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{10}}}}}}} \\10^{10^{10}}{\mbox{ kopioj de }}10\end{matrix}}}
10
↑↑↑
n
{\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow n}
4
10
10
.
.
.
10
10
⏟
10
kopioj de
10
{\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {^{^{^{^{^{10}.}.}.}10}10} \\10{\mbox{ kopioj de }}10\end{matrix}}}
10
.
.
.
10
10
⏟
10
10
kopioj de
10
{\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {^{^{^{^{^{10}.}.}.}10}10} \\10^{10}{\mbox{ kopioj de }}10\end{matrix}}}
10
↑↑↑↑
n
{\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow n}
La nombroj, kiujn oni povas skribi per la Notacio de Knuth, jam estas enormaj, sed en matematiko ekzistas nombroj, por kiuj eĉ ĝi ne sufiĉas. Por ili oni uzas operatoron de n -obla suprenindikilo, kiun oni skribas kiel
↑
n
{\displaystyle \uparrow ^{n}}
hiper-operatoro . Sed ekzistas nombroj tiom nekredeble grandaj, ke eĉ tio ne sufiĉas. Ekzemple, por nombro de Graham oni bezonus turon de 64 tavoloj de potencaj simboloj, se oni volus skribi ĝin per la Notacio de Knuth. En tiuj okazoj oni uzu eĉ pli ĝeneralitajn sistemojn, kiel ĉena indikila skribmaniero de Conway . En la notacio de Conway ĉenoj de tri nombroj estas pli-malpli same potencaj kiel
↑
n
{\displaystyle \uparrow ^{n}}
a
↑
n
b
=
hyper
(
a
,
n
+
2
,
b
)
=
a
→
b
→
n
(Knuth)
(Conway)
{\displaystyle {\begin{matrix}a\uparrow ^{n}b&=&{\mbox{hyper}}(a,n+2,b)&=&a\to b\to n\\{\mbox{(Knuth)}}&&&&{\mbox{(Conway)}}\end{matrix}}}
Plej kutime matematikistoj uzas notacion de Knuth por relative "malgrandaj" nombroj, kaj por pli grandaj oni uzas notacion de Conway aŭ hiper-operatorojn.
