Primara idealo

En ringoteorio, primara idealo (angle primary ideal, france idéal primaire) estas ĝeneraligo de la koncepto de primaj idealoj. Ĝi estas ĝeneraligo de la potencoj de primoj en la ringo de entjeroj.

Difino

Idealo ${\mathfrak {q}}\subset R$ en komuta ringo $R$ estas primara se ĝi plenumas la jenajn du aksiomojn.

• Por ĉiuj eroj $x,y\in R$, se $xy\in {\mathfrak {q}}$, do aŭ $x\in Q$ aŭ $y^{n}\in Q$ pri iu $n\in \mathbb {N}$.
• ${\mathfrak {q}}\neq R$.

Ecoj

Ĉiu prima idealo estas primara idealo.

La radikalo de primara idealo estas prima idealo.

Se ${\mathfrak {p}}$ estas prima idealo, tiam ĉia primara idealo, kies radikalo estas ${\mathfrak {p}}$, nomiĝas ${\mathfrak {p}}$-primara idealo .

Ekzemploj

En la ringo de entjeroj $\mathbb {Z}$, la primaraj idealoj estas la ĉefidealoj $(q)$, en kiu $q$ estas aŭ pozitiva potenco de primo $p^{n}$ ($n\in \{1,2,3,\dotsc \}$) aŭ nul.

Ekzemple, estu ${\mathfrak {q}}=(125)$ en la ringo de entjeroj $\mathbb {Z}$. Supozu ke $xy\in {\mathfrak {q}}$ sed $x\notin {\mathfrak {q}}$. Tiam $125\mid xy$, sed 125 ne dividas x. Tial 5 devas dividi y, kaj tial iu potenco de y (konkrete $y^{3}$), devas esti en ${\mathfrak {q}}$

Apliko

La koncepto de primaraj idealoj gravas en algebra geometrio: ĉiu idealo en Noether-a ringo havas la t.n. primaran malkomponaĵon, t.e. esprimo kiel komunaĵo de finia familio de primaraj idealoj.

Eksteraj ligiloj

• Primary ideal (angle). Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag, Eŭropa Matematika Societo.