Harmonia funkcio

funkcio kies valoro de Laplaca operatoro estas 0

Je analitiko, harmonia funkcio[1] estas dufoje kontinue derivebla funkcio, ĉe kiu la Laplaca operatoro havas la valoron nul.

DifinoRedakti

Se   estas Rimana sternaĵo, do oni povas difini la Laplacan operatoron

 

sur dufoje kontinue deriveblaj funkcioj sur  . En la ĉi-supra esprimo,   estas la kovarianta derivo difinita per la Rimana metriko  .

Harmonia funkcio   sur   estas dufoje kontinue derivebla funkcio, kiu apartenas al la kerno de la Laplaca operatoro, t.e. estas ejgena vektoro, kies ejgeno estas nul:

 .

En  -dimensia Eŭklida spaco, la Laplaca operatoro estas jena:

 .

Tial, harmonia funkcio sur Eŭklida spaco plenumas la jenan ekavacion (la Laplacan ekvacion):

 .

EkzemplojRedakti

Se   estas holomorfa funkcio, do la reela kaj imaginara partoj

 
 

estas harmoniaj funkcioj sur la dudimensia Eŭklida spaco   (kun la plata metriko).

HistorioRedakti

La termino “harmonia” devenas de la fakto, ke la harmoniaj funkcioj sur la dudimensia sfero, la sferaj harmoniaj funkcioj, konsistas el sinusoj kaj kosinusoj, kiuj priskribas muzike harmonian vibradon de kordoj de kordinstrumentoj.

ReferencojRedakti

  1. Nova Plena Ilustrita Vortaro de Esperanto: harmoni/a “∆ harmonia funkcio (rilata al harmonio 2, pli precize plenumanta la ekvacion de Laplaco)”

Eksteraj ligilojRedakti