Metodo de Rajse

Metodo de Rajse (integralo de Norlundo-Rajse) estas integralo bindas $n$ fina diferenco kun kurba integralo en komplekso ebeno.

Integro

Por meromorfa funkcio $f$ noa fina diferenco $\Delta ^{n}[f](x)$ povas bildigi kiel

$\Delta ^{n}[f](x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}(-1)^{n-k}f(x+k),$

kie

${n \choose k}$ — binoma koeficiento.

Transpasas al integradon en ĉirkaŭaĵo poluso punktoj $\alpha \ldots n$ kaj ĉe kondiĉo, ke funkcio $f$ ne havas polusojn, sekvas

$\sum _{k=\alpha }^{n}{n \choose k}(-1)^{n-k}f(k)={\frac {n!}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(z)}{z(z-1)(z-2)\ldots (z-n)}}\,dz$

для $0\leqslant \alpha \leqslant n(\alpha \in \mathbb {N} )$.

Ni povas skribi la integralo kiel

$\sum _{k=\alpha }^{n}{n \choose k}(-1)^{k}f(k)=-{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }B(n+1,-z)f(z)\,dz,$

kie

$B(a,b)$ — Beta-funkcio de Eŭler.

Iteracio de Poisson-Mellin-Neŭton

Se $\{f_{n}\}$ — ia vico kaj se $g(t)$ — ia deriva funkcio (ruse: Производящая функция последовательности), kaj se $g(t)=e^{-t}\sum _{n=0}^{\infty }f_{n}t^{n},$ do

UzatneKonverto de Mellin, ricevas, ke

$\phi (s)=\int _{0}^{\infty }g(t)t^{s-1}\,dt.$

Tiam ni povas trovas originala vico kun helpo de integralo de Norlundo-Rajse:

$f_{n}={\frac {(-1)^{n}}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {\phi (s)}{\Gamma (-s)}}{\frac {n!}{s(s-1)\cdots (s-n)}}\,ds,$

kie

$\Gamma$ — Γ-funkcio.

Literaturo

• Niels Erik Nörlund, Vorlesungen uber Differenzenrechnung, (1954) Chelsea Publishing Company, New York.
• Donald E. Knuth, The Art of Computer Programming, (1973), Vol. 3 Addison-Wesley.
• Philippe Flajolet and Robert Sedgewick, «Mellin transforms and asymptotics: Finite differences and Rice’s integrals», Theoretical Computer Science 144 (1995) pp 101—124.
• Peter Kirschenhofer, «A Note on Alternating Sums», The Electronic Journal of Combinatorics, Volume 3 (1996) Issue 2 Article 7.