Malfermi la ĉefan menuon
nx por n = 2, 3, 4, 5, 6, 7
uzante linearan proksimumigon

En matematiko, supereksponento4-hiperoperatoro estas ripetita eksponenta funkcio, la sekva hiperoperatoro post potencigo.

Jen estas la unuaj kvar hiperoperatoroj, kaj supereksponento estas la kvara:

  • 1 Adicio
  • 2 Multipliko
  • 3 potencigo
  • 4 Supereksponento

kie ĉiu operacio estas difinita kiel ripetado de la antaŭa.

Adicio (a+b) estas b-foja ripeto de la "adicio de 1" aplikata al a, multipliko (ab) estas ĉena adicio de b nombroj a, potencigo ab estas ĉena multipliko de b nombroj a. Analoge, supereksponento ba estas ĉena potencigo de b nombroj a. La parametro a estas la bazo kaj la parametro b estas la alto-parametro.

La unua tri operatoroj - adicio, multipliko kaj potencigo - povas esti ĝeneraligita por kompleksaj valoroj de ambaŭ argumentoj. Sed por supereksponento ĉi tia bona regula ĝeneraligo ne estas ankoraŭ trovita. Iuj provoj de ĝeneraligo estas priskribitaj pli sube, sed ili ne estas sufiĉe bonaj. Tiel supereksponento ne estas konsiderata kiel elementa funkcio.

Gravas ke en kalkulado de multnivela potencigo, la potencigo estas farita ekde la plej profunda nivelo (en la skribmaniero, ekde la plej supra nivelo):

Se fari la potencigon en la mala ordo rezultiĝas ĝenerale la alia valoro, ekzemple:

La alia varianto de supereksponento povas esti enkondukita por la dua varianto, tamen ĉi tiu okazo povas esti skribita kiel

Estas ankaŭ la aliaj similaj al supereksponento esprimoj:

Supereksponento a estas la bazo, kaj la kvanto de a estas la alto
Supereksponento de malfinia alto (vidu sube pli detale) a estas la bazo
Ripetitaj eksponentoj a estas la bazo, kaj la kvanto de a plus 1 por x estas la alto
Nestitaj eksponentoj n estas la alto, la bazoj ai povas estas malsamaj.
Malfiniaj nestitaj eksponentoj

SkribmanieroRedakti

La skribmanieroj por supereksponento estas:

Nomo Skribo Priskribo
Norma skribmaniero ba
Notacio de Knuth   Permesas vastigaĵo per uzo de pli multaj sagoj, aŭ per indeksita sago.
Ĉena indikila skribmaniero de Conway   Permesas vastigaĵon per uzo de pli granda nombro anstataŭ 2 en la fino (ekvivalento al la vastigaĵo pli supre), kaj ankaŭ per etendo de la la ĉeno.
Akermana funkcio   Taŭgas nur por parta okazo a=2.
Ripetita eksponento   Permesas simplan vastigaĵo al ripetitaj eksponentoj kun komenca valoro ne egala al 1.
Ĉi tie   kun n fojoj de a.
Hiperoperatoro   Permesas vastigaĵo per uzo de pli granda nombro anstataŭ 4.
Askia skribmaniero de notacio de Knuth a^^b La supren-sago estas anstataŭigita per la ĉapelo ^.

La skribmanieroj por ripetita eksponento estas:

Nomo Skribo Priskribo
Norma skribmaniero   Ĉi tie   kun n fojoj de a.
Notacio de Knuth   Permesas vastigaĵo per uzo de pli multaj sagoj, aŭ per indeksita sago.
Skribmaniero de Ioannita Galidakis   Uzata en [1].
Askia helpa a^^n@x Bazita sur konsidero ke ripetita eksponenta funkcio estas helpa supereksponento.
Askia norma exp_a^n(x) Bazita sur norma skribmaniero.

EkzemplojRedakti

La valoroj enhavantaj dekuman komon estas proksimumaj.

n 2n 3n 4n
0 1 0 1
1 1 1 1
2 4 16 65536
3 27 7 625 597 484 987  
4 256    
5 3125    
6 46656    
7 823543    
8 16 777 216    
9 387 420 489    
10 10 000 000 000    

VastigaĵojRedakti

Vastigaĵo de bx al reelaj nombroj   estas simpla. Por ĉiu natura nombro  , estas super-potenca funkcio f(x) = bx.

Vastigaĵo al bazo 0Redakti

Iam 00 estas prenita al esti nedifinita valoro. En ĉi tiu okazo, valoro k0 ne povas esti difinita rekte. Tamen,   estas bone difinita kaj ekzistas:

 

Ĉi tiu limigo veras ankaŭ por negativaj n. k0 povita esti difinita per ĉi tiu limigo kaj ĉi tio devus konsenti kun difino de  . Ĉi tiu limiga difino tenas por   ĉar 2 estas para, kaj tenas por   ĉar 0 estas (eĉ, ebena, para).

Vastigaĵo al kompleksaj bazojRedakti

Pro tio ke kompleksaj nombroj povas esti altigita al potencoj, supereksponento povas esti aplikita al bazoj de formo z = a + bi, kie i estas la imaginara unuo.

Ekzemple, en kalkulo de ki per uzo de ĉefa branĉo de la natura logaritmo, kaj de eŭlera formulo rezultiĝas:

 

Ĉi tio donas rikuran difinon por   per  :

 
 
  Proksimuma valoro
  i
  0,2079
  0,9472 + 0,3208i
  0,0501 + 0,6021i
  0,3872 + 0,0305i
  0,7823 + 0,5446i
  0,1426 + 0,4005i
  0,5198 + 0,1184i
  0,5686 + 0,6051i

Solvante la inversan rilaton, rezultiĝas   kaj  , kaj pluaj negativaj valoroj de k donas malfiniajn rezultojn sur la imaginara akso. Grafike prezentita en la kompleksa ebeno, la tuta vico spiralas al la limigo 0,4383 + 0,3606i kiu povis esti interpretita kiel la valoro se k estas malfinio.

Ĉi tiaj supereksponentaj vicoj estis studita ekde la tempo de Eŭlero sed estas malbone) komprenita pro sia kaosa konduto. Plej parto de publikaĵoj fokusiĝis sur la konverĝo de la potenca turo. Aktuala esplori grande plisukcesiĝis per uzo de komputiloj kun fraktala kaj signa matematika programaro. Multo de tio kio estas sciata pri supereksponento venas de ĝenerala scio de kompleksa dinamiko kaj specifa esploro de la eksponenta funkcia mapo.

Vastigaĵo al malfiniaj altojRedakti

 
Supereksponento de malfinia alto de reela argumento.
 
Absoluta valoro de   sur kompleksa ebeno. Nigra kurbo estas la supereksponento de malfinia alto de reela argumento.

Supereksponento povas esti etendita al malfinia alto. Ĉi tio estas ĉar por bazoj en certa intervalo supereksponento konverĝas al finia valoro kiam la alto strebas al malfinio. Ekzemple,   konverĝas al 2, kaj povas pro tio estas konsiderata kiel egala al 2. La tendenco al 2 povas vidiĝi per komputado de malgranda finia turo:

 
 
 

Ĝenerale, la malfinia potenca turo  , difinita kiel la limigo de   kiam n iras al malfinio konverĝas por  , proksimume en la intervalo 0,066 ... 1,44. Por ajna reela r kun 0 < r < e, estu  , tiam la limigo estas r; ne estas konverĝo por   pro tio ke la maksimumo de   estas  .

Ĉi tio povas esti etendita al kompleksaj nombroj z:

 

kie   estas W funkcio de Lambert. Pro tio ke la limigo   devas kontentigi  , h(z) estas la suba branĉo de la retroĵeto de  .

Vastigaĵo al negativaj altojRedakti

Supereksponento povas esti etendita al negativaj altoj. Pro rilato:

 

(kiu sekvas de la difino de supereksponento), eblas derivi (aŭ difini) valorojn de   kie  .

 
 
 

Ĉi tiu konfirmas la intuicia difinon de   kiel simple n. Tamen, pluaj valoroj ne povas esti derivitaj per plua ripeto en ĉi tiu maniero ĉar   estas nedifinita.

Simile, pro tio ke   estas nedifinita:

 

la derivaĵo pli supre ne validas se n = 1. Pro tio,   devas resti nedifinita. Tamen   povas sekure esti difinita kiel 1.

Vastigaĵo al reelaj altojRedakti

Je ĉi tiu tempo ne estas kutime akceptita solvaĵo al la ĝenerala problemo de etendanta supereksponento al la reela aŭ kompleksaj valoroj de b, kvankam ĝi estas sub aktiva esploro.

Ĝenerale la problemo estas trovado de supereksponenta funkcio   super reela x > -2 tia ke:

  •  
  •  
  •  
  • Kvara postulo estas kutime unu el:
    Kontinueco - ke   estas kontinua je ambaŭ variabloj por x > 0
    Derivebleco - ĝi povas unufoje, dufoje, n-foje, aŭ malfinie diferencialebla je x.
    Reguleco (enhavanta dufojan diferencialeblecon je x)
      por ĉiuj x > 0

La kvara bezono diferencas de aŭtoro al aŭtoro, kaj inter manieroj. Estas du ĉefa manieroj al etendo de supereksponento al reela altoj, unu estas bazita sur la reguleca postulo bezono, kaj unu estas bazita sur la derivebleca postulo. Ĉi tiuj du manieroj aspekti al esti tiel malsama ke ili povas ne esti kunigitaj, ĉar ili produktas rezultojn nekonsekvencajn unu kun la alia.

Solvaĵo kiu kontentigas iun el ĉi tiuj postuloj en intervalo de longo 1 povas esti etendita al solvaĵo por ĉiuj pozitivaj reelaj nombroj. Kiam   estas difinita por intervalo de longo unu, la tuta funkcio facile sekvas por ĉiuj x > -2.

La lineara proksimumigo estas:

 

de ĉi tie:

  por  
  por  
  por  
...

Ĝi estas kontunua sed nur popeca diferencialebla; je entjeraj valoroj de x la derivaĵo estas multiplikita per ln a.

La kvadrata proksimuma kalkulado estas:

 

kiu estas diferencialebla por ĉiuj x > 0, sed ne dufoje diferencialebla.

En difino de   por ĉiu a, alia ebla bezono povis esti ke ĝi estu monotone pligrandiĝanta kun a.

Vastigaĵo al kompleksaj altojRedakti

 
Desegnaĵo de la analitika vastigaĵo   de supereksponento al la kompleksa ebeno.
Niveloj   kaj
niveloj   estas montrita kiel dikaj kurboj.

Ekzisto de analitika vastigaĵo de   al kompleksaj valoroj de z estas ankoraŭ ne trovita. Por a=e, ĝi povis esti solvaĵo de la funkcia ekvacio   kun aldonaj kondiĉoj ke F(0)=1 kaj F(z) restas finia kiel  . Se tia vastigaĵo ekzistas, ĝi povus havi la formon montrita en la bildo dekstre. Ĉi tiu funkcio estas ne tuta, ĉar estas specialaĵoj de F(z) sur la reela akso je la punktoj z = -2, -3, -4, ....

RetroĵetojRedakti

La retroĵetoj de supereksponento estas nomataj kiel superradikohiper-4-radiko kaj la superlogaritmohiper-4-logaritmo. La kvadrata superradiko ssqrt(x) kiu estas retroĵeto de   povas esti prezentita kun la W funkcio de Lambert:

 

La superlogaritmo   estas difinita por ĉiuj pozitivaj kaj negativaj reelaj nombroj b.

La funkcio   havas propraĵojn:

 
 
 

La ripetita logaritmo estas iom simila al la superlogaritmo.

Supereksponenta funkcia kreskadoRedakti

Supereksponenta funkcio kreskas eĉ pli rapide ol duopa eksponenta funkcio  .

Ekzemple, por bazo 10 kun la lineara proksimumigo:

  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •   (guglo)
  •  
  •   (gugloplekso)

  je  .

Vidu ankaŭRedakti

Eksteraj ligilojRedakti