Intervalo (muziko)

En muzikteorio, intervalo estas la diferenco je tonalto inter du tonoj. Ĝi ofte indikas tiujn du tonojn mem (nomatajn ankaŭ duto). Intervalklaso estas mezurata per la plej mallonga ebla distanco inter siaj du tonaltoj.

Etikedo de intervaloj

Intervaloj povas esti etikeditaj laŭ sia tonalta kvociento, kiel oni kutime faras en pura agordo. Intervaloj ankaŭ povas esti etikeditaj laŭ sia diatona funkcieco, kiel oni kutime faras en tonala muziko, kaj laŭ la nombro da tonoj, sur kiuj ili ampleksas en diatona gamo. La intervalo inter tono kaj difinita toniko estas ĝia gamgrado; tial la kvina grado de gamo estas kvinton pli alta ol la toniko. Por netonala muziko, kiel tia, kia estas skribita per la dekdutona tekniko aŭ seriismo, entjera notacio estas ofte uzata, ekz. en muzika teorio. Fine, estas eble ankaŭ etikedi intervalojn per la logaritma mezuro de cendoj, kiel oni faras por kompari aliajn intervalojn kun tiuj de dekdutona egalŝtupa agordo.

Oni povas priskribi intervalojn kiel mallarĝajn kaj larĝajn aŭ malgrandajn kaj grandajn, konsonancajn kaj disonancajn aŭ stabilajn kaj malstabilajn, malfortajn kaj fortajn, simplajn kaj malsimplajn, vertikalajn (aŭ harmoniajn) kaj liniecajn (aŭ melodiajn), kaj, se ili estas liniecaj, kiel kunligitajn/paŝojn aŭ neligitajn/saltojn. Simplaj intervaloj estas tiaj, kiaj kuŝas ene de okto, kaj malsimplaj estas tiaj, kiaj estas pli grandaj ol sola okto. Tial dekto estas nomata malsimpla trito. Liniecaj intervaloj estas sinsekvaj tonaltoj, kaj vertikalaj intervaloj estas samtempaj. Paŝoj estas liniecaj intervaloj inter sinsekvaj gamgradoj, sed saltoj ne.

Fine, la specifo de ia ajn intervalo povas plu rafiniĝi per la terminoj perfekta, maĵora, minora, aŭgmentita, kaj diminuita. Ekz., en tradicia okcidenta tonala teorio, kvarto estas kvarto pro la liternomoj de la koncernaj tonoj (ia ajn C sube kaj ia ajn F supere, ekz.: C, D, E, F, do estas kvar liternomaj tonaltoj de C ĝis F). Sed ĝi povas esti plu distingita kiel perfekta kvarto (C natura kaj F natura, aŭ C diesa kaj F dudiesa, ktp.), augmentita kvarto (C natura kaj F diesa, C diesa kaj F dudiesa, ktp.), aŭ diminuita kvarto (C diesa kaj F natura, aŭ C natura kaj F bemola, ktp.). Kelkaj intervaloj (unuto, oktoj, kvartoj, kaj kvintoj) povas esti kvalifikitaj nur en la maniero ĵus ilustrita; la aliaj (dutoj, septoj, tritoj, kaj sestoj) povas esti kvalifikitaj nur kiel maĵoraj, minoraj, diminuitaj, aŭ aŭgmentataj. Maĵora intervalo estas ĉiam unu duontonon pli larĝa ol la responda minora intervalo; aŭgmentita intervalo estas ĉiam unu duontonon pli larĝa ol la responda perfekta aŭ maĵora intervalo; kaj diminuita intervalo estas ĉiam unu duontonon pli mallarĝa ol la responda perfekta aŭ minora intervalo.

Estas grave noti, ke kvankam intervaloj nomataj per iliaj harmoniaj funkcioj, ekz. maĵora duto, povas esti priskribitaj per kvociento, cendoj, aŭ entjero, ne ĉiu intervalo priskribita per tiuj pli ĝeneralaj terminoj povas esti priskribita per la nomo de harmonia funkcio. Ekz., ĉiuj maĵoraj dutoj (en dekdutona egalŝtupa agordo) mezuriĝas je 200 cendoj, sed ne ĉiu intervalo de 200 cendoj estas maĵora duto.

Simplaj diatonaj intervaloj

Jene listiĝas la plej ofte uzataj harmonia funkcio, kvociento, entjero, cendoj, kaj relativaj konsonanco aŭ disonanco de oftaj diatonaj simplaj intervaloj. Estas multaj aliaj intervaloj kaj kvocientoj; nur kelkajn ni montras jene.

• Unuto (specife, perfekta unuto; estas aliaj variaĵoj), du tonojn je la sama tonalto. En entjera notacio ĝin signas 0 kaj ĝi ankaŭ mezuriĝas je 0 cendoj. Ĝi estas la plej simpla kaj plej konsonanca el la intervaloj.
• Okto: La kvociento 2:1 faras okton (specife, perfektan okton; estas aliaj variaĵoj), du tonojn, el kiuj la pli alta havas tonalton duoblan ol tiun de la pli malalta. (Tiaj tonalto-kvociento, ni notu, dependas enfine de la fizika vibra frekvenco de la koncernaj tonaltoj.) Ĝi mezuriĝas je 1200 cendoj kaj en entjera notacio ĝin signas 0, kiel la unuto. Okta ekvivalenteco priskribas la percepton, ke oktoj estas la sama tono, ke la samaj tonoj ripetiĝas tra la tonaltamplekso. Tial C kaj C', C5 kaj C3, kaj C kaj iu ajn C iom ajn da oktoj super aŭ sub ĝi, ĉiuj estas la sama tono aŭ tonaltklaso. Tial la okto estas iomete malpli aŭ tiom same konsonanca kiel la unuto.
• Perfekta kvinto & perfekta kvarto: La kvociento 3:2 faras perfektan kvinton, du tonaltojn, unu tonon 1,5 fojojn pli altan ol la alia. En entjera notacio ĝin signas 7 kaj ĝi mezuriĝas je 700 cendoj en temperado egala, kio estas kvociento du (1,955) cendojn bemola de 3:2. La inverso de perfekta kvinto estas perfekta kvarto. Perfektan kvarton faras la kvociento 4:3, 5 en entjera notacio, kaj 500 cendoj en agordo egala, du cendojn diesa de 4:3. La unuto, okto, kvinto kaj kvarto estas konsiderataj "perfektaj intervaloj" kaj tial la plej konsonancaj, en tiu ordo.
• Maĵora trito & minora sesto: La kvociento 5:4 faras maĵoran triton. En entjera notacio ĝin signas 4 kaj ĝi mezuriĝas 400 cendojn, kio estas 13,686 cendojn diesa de 5:4. Ĝia inverso estas minora sesto, 8:5, kiun signas 8 en entjera notacio kaj kiu mezuriĝas 800 cendojn en temperado egala, 13,686 cendojn bemola de 8:5. La tritoj kaj sestoj estas konsiderataj la plej energiaj kaj interesaj el la konsonancaj intervaloj, kaj estas tial la malplej konsonancaj, en jena ordo: maĵora trito, maĵora sesto, minora trito, minora sesto.
• Minora trito & maĵora sesto: La kvociento 6:5 faras minoran triton. En entjera notacio ĝin signas 3, kaj ĝi mezuriĝas 300 cendojn en agordo egala, kio estas 15,641 cendojn bemola de 6:5. Ĝia inverso estas maĵora sesto, 5:3, kiun signas 9 en entjera notacio, kaj kiu mezuriĝas 900 cendojn en agordo egala, kio estas 15,641 cendojn diesa de 5:3.
• Maĵora duto & minora septo: La kvociento 9:8 faras maĵoran duton. En entjera notacio ĝin signas 2 kaj ĝi mezuriĝas 200 cendojn, kio estas 3,91 cendojn bemola de 9:8. Ĝia inverso estas minora septo, 16:9, kiun signas 10 en entjera notacio kaj kiu mezuriĝas 1000 cendojn aŭ 3,91 cendojn diesa de 16:9. Ĝi estas la unua disonanca intervalo kaj estas ofte uzata inter akordotonoj kiel en la dominanta septa akordo, kiu prezentas la minoran septon inter la kvina kaj dua gradoj de maĵora gamo. Neegale temperita minora septo estas ankaŭ unu el la blusaj tonoj uzataj en bluso kaj ĵazo. La maĵora duto nomiĝas ankaŭ plenduto aŭ plentono.
• Minora duto kaj maĵora septo: Simile al la ĉi-supraj intervaloj, multaj kvocientoj estas uzataj por la minora duto, sed 16:15 estas la plej ofta. En entjera notacio ĝin signas 1 kaj ĝi mezuriĝas 100 cendojn, kio estas 11,731 cendojn bemola de 16:15, sed sufiĉe proksima al 18:17. Ĝia inverso estas la maĵora septo, kutime 15:8, kiun signas 11 en entjera notacio kaj kiu mezuriĝas 1100 cendojn. La minora duto kaj maĵora septo estas la plej disonancaj intervaloj eble escepte de la tritono, ĉi-sube. La minora duto ankaŭ nomiĝas duonduto aŭ duontono.

Aŭgmentitaj kaj diminuitaj intervaloj

Kune kun ĉiuj dutoj kaj septoj, ĉiuj aŭgmentitaj kaj diminuitaj intervaloj estas konsiderataj disonancaj. Tamen, en dekdutona egalŝtupa agordo, la plej multaj intervaloj, kiam aŭgmentitaj aŭ diminuitaj, estas enharmone ekvivalentaj al alia intervalo — ekzemple, diminuitaj minora duto estas unuto — kaj tial nur la kvarto kaj kvinto estas kutime modifataj.

• Tritono: La tritonon, kiu povas esti eta kvinto aŭ ega kvarto, signas 6 en entjera notacio kaj ĝi mezuriĝas 600 cendojn. Ĝin povas aproksimi la kvociento 17:12, kies inverso estas 24:17 kaj sonas 6 cendojn pli malalte ol 17:12. (Ideale, la tritono devus egali al sia propra inverso.) Ĝi nomiĝas "tritono" ĉar ĝi ampleksas tri plendutojn. Ĝi ekzakte, simetrie dividas la okton en duonojn kaj estis konsiderata la plej disonanca intervalo, laŭvorte "la diabla intervalo" (diabolus in musica). Ĝi ludas gravan rolon en la dominanta septa akordo.

Inversigo

Kiel oni povas tiri el la ĉi-supra diskuto, ĉia intervalo povas suferi inverson, interŝanĝante la poziciojn de la supra kaj la malsupra tonaltoj (kvankam estas malpli kutime paroli pri inverso de unutoj aŭ oktoj). Ekz., la kvarto inter pli malalta C kaj pli alta F povas esti inversita por fari kvinton, kun pli malalta F kaj pli alta C. Determini la ekzaktan naturon de la inverso de ia ajn intervalo estas facile. Jen estas du reguloj, kiuj aplikiĝas al ĉiuj simplaj intervaloj, kaj per memkomprenebla etendo ankaŭ al malsimplaj intervaloj:

1. La numero de ĉiu intervalo kaj la numero de ĝia inverso ĉiam faras naŭ (kvar + kvin = naŭ, en la ekzemplo ĵus donita).

2. La inverso de maĵora intervalo estas minora intervalo (kaj inverse); la inverso de perfekta intervalo ankaŭ estas perfekta; la inverso de aŭgmentita intervalo estas diminuita intervalo (kaj inverse); kaj la inverso de duoble-aŭgmentita intervalo estas duoble-diminuita intervalo (kaj inverse).

Plena ekzemplo: E bemola sube kaj C natura supere faras maĵoran seston. Per la du reguloj ĵus donitaj, C natura sube kaj E bemola supere devas fari minoran triton.

Mallongigite

Intervaloj estas ofte mallongigitaj per P por perfektaj, m por minoraj, M por maĵoraj, d por diminuita, A por aŭgmentita, sekvataj de la diatona intervalnumero. La okto estas P8, kaj unuto estas kutime nomata simple "unuto", sed povas esti etikedita P1. La tritono, aŭgmentita kvarto aŭ diminuita kvinto estas ofte π aŭ TT. Tial minora duto estas m2, perfekta kvinto estas P5, diminuita 3to estas d3, kaj aŭgmentita kvarto estas A4.

La intervaloj en la kromata gamo estas (en supreniranta melodia ordo): P1, m2, M2, m3, M3, P4, π, P5, m6, M6, m7, M7, P8.

Generacioj de intervaloj

La intervaloj povas dividiĝi en kvin "generaciojn", kiuj respondas al negativaj potencoj de du:
Nula generacio (1+2⁻⁰): P1, P8.
Unua generacio (1+2⁻¹): P4, P5.
Dua generacio (1+2⁻²): M3, m3, M6, m6.
Tria generacio (1+2⁻³): M2, m7.
Kvara generacio (1+2⁻⁴): m2, M7, π.

Ĉiu sinsekva generacio estas pli disonanca ol la antaŭa.

Jen estas la derivo de ĉiu generacio de la antaŭa: Komencu per la kvociento de la okto, 2:1. Multipliku ĉiun el ĝiaj du nombroj per du, farante 4:2. Tiam enmetu la mankantan nombron mezen, kio donas 4:3:2. Tio ĉi rompiĝas en paron da kvocientoj — 4:3 kaj 3:2. La minora estas 4:3 kaj la maĵora estas 3:2. Tio estas la perfekta kvarto kaj la perfekta kvinto, respektive, kaj ili estas la unua generacio.

Nun prenu la kvocienton de la perfekta kvinto, 3:2. Multipliku ĉiun el ĝiaj du nombroj per du por ricevi 6:4. Tiam enmetu la mankantan nombron mezen, farante 6:5:4. Tio ĉi rompiĝas en paron da kvocientoj — 6:5 kaj 5:4. La minora estas 6:5 kaj la maĵora estas 5:4. Tio estas la minora trito kaj la maĵora trito, respektive. Iliaj inversoj estas 5:3 kaj 8:5, kiuj estas la maĵora sesto kaj la minora sesto, respektive. Tiuj do estas la dua generacio: M3, m3, M6, m6.

Prenu nun la kvocienton de la maĵora trito, 5:4. Multipliku ĉiun el ĝiaj du nombroj per du, kio donas 10:8. Tiam enmetu la mankantan nombron mezen, kio donas 10:9:8. Tio ĉi rompiĝas en paron da kvocientoj — 10:9 kaj 9:8. La minora estas 10:9 kaj la maĵora estas 9:8. Ambaŭ tiuj estas plendutoj, t.e. maĵoraj dutoj. La inverso de 9:8 estas 16:9, minora septo. Tiuj do estas la tria generacio: M2, m7.

Nun prenu la kvocienton de la plenduto, 9:8. Multipliku ĉiun el ĝiaj du nombroj per du, kio donas 18:16. Tiam enmetu la mankantan nombron mezen por ricevi 18:17:16. Tio ĉi rompiĝas en paron da kvocientoj — 18:17 kaj 17:16. La minora estas 18:17 kaj la maĵora estas 17:16. Ambaŭ tiuj estas duondutoj, t.e. minoraj dutoj. La inverso de 18:17 estas 17:9, maĵora septo. La lasta intervalo estas la tritono. La tritono ideale egalas al la dua radiko de du, kiu estas neracia, sed kiu povas esti alproksimigita per aldono de duonduto al perfekta kvinto:

${4 \over 3}\times {17 \over 16}={1\times 17 \over 3\times 4}={17 \over 12}$

aŭ

${4 \over 3}\times {18 \over 17}={4\times 6 \over 1\times 17}={24 \over 17},$

kiu estas la inverso de 17:12. 24:17 havas la saman denominatoron kiel 18:17, kaj 17:12 havas la saman numeratoron kiel 17:16. Tiuj do estas la intervaloj de la kvara generacio: m2, M7, π.

Orditaj kaj neorditaj intervaloj de tonaltoj kaj tonaltklasoj

En netonala aŭ muzika arteorio estas multaj specoj de intervaloj, el kiuj la unua estas ordita tonaltintervalo, la distanco inter du tonaltoj supren aŭ malsupren. Ekzemple, la intervalo de C ĝis G supren estas 7, sed la intervalo de G ĝis C malsupren estas −7. Per 12 en entjera notacio kaj modulo, ordita tonaltintervalo ip povas esti difinita, por iuj ajn du tonaltoj x kaj y, kiel:

• $\operatorname {ip} \langle x,y\rangle =y-x$

kaj:

• $\operatorname {ip} \langle y,x\rangle =x-y$

inverse.

Oni povas mezuri la distancon inter du tonaltoj tamen ne kalkulante pri direkto per la neordita tonaltintervalo, kiu similas al la intervalo de tonala teorio. Tio ĉi povas esti difinita kiel: *$\operatorname {ip} (x,y)=|y-x|$

La intervalo inter tonaltklasoj povas esti mezurita per orditaj kaj neorditaj tonaltklasintervaloj. La orditan, ankaŭ nomatan direktita intervalo, oni povas konsideri la mezuron supren, kiu, ĉar ni pritraktas tonaltklasojn, dependas de tio, kiun tonalton ni elektas kiel 0. Tial la orditan tonaltklasintervalon, i<x, y>, ni povas difini kiel:

• $\operatorname {i} \langle x,y\rangle =y-x$

mod 12, kompreneble.

Intervalcikloj

Intervalcikloj "malvolvas ununuran revenantan intervalon en serio, kiu fermiĝas per reveno al la unua tonaltklaso", kaj estas ennotigitaj de George Perle per la litero "C", por ciklo, kun intervalklasa entjero por distingi la intervalon. Tial la diminuitan septakordon reprezentus C3, kaj la augmentitan trisonon C4. Oni povas aldoni superskribon por distingi transponojn, uzante 0–11 por indiki la plej malaltan tonaltklason en la ciklo. "Tiuj ĉi intervalcikloj ludas fundamentan rolon en la harmonia organizo de postdiatona muziko kaj ilin oni povas facile rekoni nomante la ciklon." (Perle, 1990)

Fonto

• PERLE, George (1990). The Listening Composer (La aŭskultanta komponisto), p. 21. California: University of California Press. ISBN 0-520-06991-9.

Intervalforto kaj intervalradiko

Intervalforto

David Cope sugestas la koncepton de intervalforto, laŭ kiu la forton de intervalo determinas ĝia aproksimo al pli malalta, pli forta, aŭ pli alta, pli malforta, pozicio en la harmona serio.

Intervalradikoj

Paul Hindemith kaj David Cope ambaŭ sugestas la koncepton de intervalradikoj. Por determini radikon de intervalo, oni trovas ĝian plej proksiman aproksimon en la harmona serio. La radiko de perfekta kvarto, tial, estas ĝia supra tono ĉar ĝi estas okto de la fundamento en la hipotezita harmona serio. La malsupra tono de ĉiu nepara diatone numerita intervalo estas la radiko, kaj same estas la suproj de ĉiaj paraj numeritaj intervaloj. La radiko de kolekto da intervaloj aŭ de akordo estas tial determinita per la intervalradiko de sia plej forta intervalo.

Rilate ĝian utilecon, Cope provizas la ekzemplon, ke la finan tonikan akordon de kelke da populara muziko oni povas analizi tradicie kiel "submediantan ses-kvin-akordon", aŭ kiel septan akordon en la unua inverso (eble la dominanton de la medianto V/iii). Laŭ la intervalradiko de la plej forta intervalo de la akordo (en la unua inverso, CEGA), la perfekta kvinto (C-G), estas la malsupra C, la toniko.

Fonto

• COPE, David (1997). Techniques of the Contemporary Composer (Teknikoj de la nuntempa komponisto), p.40-41. New York, New York: Schirmer Books. ISBN 0-02-864737-8.

Aliaj intervaloj

Estas ankaŭ multaj intervaloj ne troviĝantaj en la kromata gamo aŭ etikeditaj per diatona funkcio, kiuj havas propran nomon. Multaj el tiuj ĉi intervaloj priskribas diferencetojn inter tonoj agorditaj laŭ la uzata agorda sistemo. La plej multaj el jenaj intervaloj povas esti priskribitaj kiel mikrotonoj.

• Pitagora komao estas la diferenco inter dek-du ĝuste agorditaj perfektaj kvintoj kaj sep oktoj. Ĝin esprimas la frenkvenca kvociento 531441:524288, kaj ĝi egalas al 23,46 cendoj.
• Sintonika komao estas la diferenco inter kvar ĝuste agorditaj perfektaj kvintoj kaj du oktoj plus maĵora trito. Ĝin esprimas la kvociento 81:80, kaj ĝi egalas al 21,51 cendoj.
• Septa komao estas 64/63, kaj estas la diferenco inter la pitagora aŭ 3-lima "7to" kaj la "harmona 7to".
• Diesis estas ĝenerale uzata por signifi la diferencon inter tri ĝuste agorditaj maĵoraj tritoj kaj unu okto. Ĝin esprimas la kvociento 128:125, kaj ĝi egalas al 41,06 cendoj. Tamen ĝin oni uzis por indiki aliajn malgrandajn intervalojn.
• Skismo (schisma, aŭ skhisma) estas la diferenco inter kvin oktoj kaj ok ĝuste agorditaj kvintoj plus unu ĝuste agordita maĵora trito. Ĝin esprimas la kvociento 32805:32768, kaj ĝi egalas al 1,95 cendoj. Ĝi estas ankaŭ la diferenco inter la pitagora kaj sintona komaoj.
  • Skisma maĵora trito estas skismo malsama ol ĝusta maĵora trito, ok kvintojn malsupren kaj kvin oktojn supren, Fb en C.
• Kvaronduto estas duone tiel larĝa kiel duonduto, kiu estas duone tiel larĝa kiel plenduto.
• Kleisma estas ses maĵorajn tritojn supren, kvin kvintojn malsupren, kaj unu okton supren, aŭ, pli kutime, 225:224.
• Limma estas la kvociento 256:243, kiu estas la duonduto en agordo pitagora.
• Dutono estas la pitagora kvociento 81:64, du tonoj 9:8.
• Krome, iuj kulturoj tra la mondo havas proprajn nomojn por intervaloj trovataj en sia muziko.
• Vidu ankaŭ specifa kaj ĝenerala intervalo.

Intervaloj naturaj tonsilabe

Tonsilabante oni indikas per matematika esprimo la relativan diferencon (intervalon) inter ĉiu tonsilabo kaj la toniko. Do, en la difino mem de tonsilaba gamo kuŝas la preciza difino de ĉiuj uzataj intervaloj, ĉu naturtonaj, ĉu egaltemperaj, ĉu aliaj. Ekzemple, naturtone la kodaja gamo havas kompare kun la toniko:

• tonikan dieson [Di] = 25/24 = 1,042
• duton malgrandan [Ra] = 27/25 = 1,080
• duton grandan [Re] = 9/8 = 1,125
• duton pli grandan [Ri] = 75/64 = 1,172
• triton malgrandan [Ma] = 6/5 = 1,200
• triton grandan [Mi] = 5/4 = 1,250
• kvarton (malgrandan) [Fa] = 4/3 = 1,333
• kvarton grandan [Fi] = 25/18 = 1,389
• kvinton (malgrandan) [So] = 3/2 = 1,500
• kvinton grandan [Si] = 25/16 = 1,562
• seston (malgrandan) [La] = 5/3 =1,667
• seston grandan [Li] = 125/72 = 1,736
• septon malgrandan [Ta] = 9/5 = 1,800
• septon grandan [Ti] = 15/8 = 1,875
• oktan bemolon [da] = 48/25 = 1,920
• okton [do] = 2

Jen tiuj ĉi tonsilaboj difiniĝas kiel onoj kaj kiel milonoj dekume proksimume, sed ne logaritme.
Ĉiuj iliaj intervaloj estas kalkuleblaj el la dua kaj tria naturtonoj ([Do] kaj [So])
Rimarkeblas ke la sepa naturtono estas eĉ pli malgranda septo ol [Ta]: [Tu] = 7/4 = 1,750
Oni povas ankaŭ konstati, ke aliaj intervalaj nombroj abundas. Ekzemple, la duto inter [Re] kaj [Mi] estas ne 9/8 sed 10/9, same kiel inter [So] kaj [La] kaj same kiel inter [Ta] kaj [do].

Eksteraj ligiloj

Angle:

• Tonalsoft Encyclopaedia of Tuning Arkivigite je 2005-02-27 per la retarkivo Wayback Machine