Malfermi la ĉefan menuon

En matematiko, serio estas sumo da eroj el vico de nombroj.

Por donita vico , la n-a parta sumo Sn estas sumo de la unuaj n eroj de la vico, tio estas,

Serio estas konverĝa se kaj nur se la vico de ĝiaj partaj sumoj konverĝas (ekzistas limigo de vico). En pli formala lingvo, serio konverĝas se tie ekzistas limigo y, tia ke por ĉiu ajne malgranda pozitiva nombro e, e>0, estas entjero N tia ke por ĉiuj n ≥ N,

Serio kiu ne estas konverĝa estas malkonverĝa serio (ankaŭ nomita diverĝa serio).

EkzemplojRedakti

 
Vidigo de konverĝo ĝis 2, pri la geometria vico 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... .

Konverĝaj serioj

  • Inversoj de nenegativaj entjeraj potencoj de 2
     
  • Inversoj de pozitivaj entjeroj kun alternaj signoj (alterna serio)
     
  • Inversoj de kvadrataj nombroj
     
  • Inversoj de pozitivaj neparaj entjeroj kun alternaj signoj
     

Malkonverĝaj serioj

  • Inversoj de pozitivaj entjeroj
     
  • Inversoj de primoj:
     

Konverĝaj testojRedakti

Konverĝa testo estas maniero por difini ĉu serio konverĝas aŭ malkonverĝas

Kompara provoRedakti

Eroj de la vico   estas komparataj al tiuj de la alia vico  .

Se, por ĉiuj n,   kaj   konverĝas, do   konverĝas.

Se, por ĉiuj n,  , kaj   malkonverĝas, do   malkonverĝas.

Rilatuma provoRedakti

Se por ĉiu n, an>0 kaj ekzistas r tia ke

 

tiam se r<1, do la serio konverĝas. Se r>1, do la serio malkonverĝas.

Se r = 1 la rilatuma provo ne donas respondon, la serio povas kaj konverĝi kaj malkonverĝi.

Radika provoRedakti

Se por ĉiu n, an≥0 kaj ekzistas r tia ke

 

tiam se r<1, do la serio konverĝas. Se r>1, do la serio malkonverĝas.

Se r = 1 la radika provo ne donas respondon, la serio povas kaj konverĝi kaj malkonverĝi.

La rilatuma provo kaj la radika provo estas ambaŭ bazitaj sur komparo kun geometria serio, kaj tiel ili laboras en similaj situacioj. Se la rilatuma provo laboras (la limigo ekzistas kaj estas ne egala al 1) tiam laboras la radika provo. La reo tamen, estas ne vera. La radika provo estas pro tio pli ĝenerale aplikebla, sed kiel praktika materio la limigo estas ofte malfacila al komputi por kutime estantaj specoj de serioj.

Limiga kompara provoRedakti

Se por ĉiu n, an>0 kaj bn>0 kaj limigo   ekzistas kaj estas ne nulo, do   konverĝas se kaj nur se   konverĝas.

Alterna seria provokriterio de LeibnizRedakti

Por alterna serio de formo   kie por ĉiu n an>0, se {an} estas monotone malkreskanta kaj havas limigon 0, do la serio konverĝas.

Integrala provoRedakti

La serio povas esti komparita al integralo. Se ekzistas pozitiva kaj monotone malkreskanta funkcio f(x) tia ke je ĉiuj pozitivaj entjeraj argumentoj ĝi egalas al eroj de la serio f(n) = an kaj se

 

tiam la serio konverĝas. Se la integralo malkonverĝas, tiam la serio malkonverĝas.

Koŝia konverĝa provoRedakti

Serio

 

konverĝas se kaj nur se la vico de partaj sumoj estas koŝia vico.

Ĉi tio signifas ke por ĉiu   estas pozitiva entjero N tia ke por ĉiuj m kaj n tiaj ke n ≥ m ≥ N

 

kio estas ekvivalento al

 

Koŝia kondensa provoRedakti

Se {an} estas monotona malkreskanta vico, do   konverĝas se kaj nur se   konverĝas.

Provo de DirichletRedakti

Abela provoRedakti

Provo de RaabeRedakti

Kondiĉa kaj absoluta konverĝoRedakti

Por ĉiu vico  , laŭ propraĵo de sumo de absolutaj valoroj (neegalaĵo de triangulo sur la kompleksa ebeno)

 

Ĉi tio signifas ke se   konverĝas, tiam ankaŭ   konverĝas (sed ne inverse).

Se serio   konverĝas, do serio   estas absolute konverĝa. Absolute konverĝa vico estas tiu en kiu longo de linio kreita per kunigo kune de ĉiuj pligrandiĝoj al la parta sumo estas finia. Ekzemple, serio de Taylor de la eksponenta funkcio estas absolute konverĝa ĉie.

Se serio   konverĝas sed serio   malkonverĝas, do la serio   estas kondiĉe konverĝa. La linio kreita per kunigo kune de ĉiuj pligrandiĝoj al la parta sumo estas malfinie longa. Ekzemple, serio de Taylor de logaritmo estas kondiĉe konverĝa.

La rimana seria teoremo statas ke se reela serio konverĝas kondiĉe, do eblas reordigi ĝiajn erojn tiel ke la serio konverĝu al ĉiu donita reela valoro, aŭ malkonverĝu.

Uniforma konverĝoRedakti

Estu   vico de funkcioj.

La serio   konverĝas unuforme al f se la vico {Sn} de partaj sumoj difinita per

 

konverĝas unuforme al f.

M-provo de Weierstrass estas analogo de la kompara provo por malfinia serio de funkcioj.

Eksteraj ligilojRedakti