Ora proporcio

la konstanto (1+√5)/2

La ora proporcio (latine sectio aurea) estas rilato inter du nombroj, plej ofte distancoj, rigardata en la arto kaj arkitekturo kiel centra nocio pri estetiko kaj perfekta harmonio. Plue la ora proporcio aperadas ankaŭ en la naturo kaj havas interesajn matematikajn ecojn.

La oran nombron oni renkontas en la naturo, en arto ktp, sed unuavice en matematiko, kaj ĉefe ĝiajn matematikajn ecojn oni konsideras laŭ moderna vidpunkto, komencante per geometrio, kie ĝi rolas en pristudo de plurlateroj kaj pluredroj, sed ankaŭ en aritmetiko, kie, lige kun la vico de Fibonacci, ĝi havas unikajn ecojn. Fakuloj profunde traktas la diversajn matematikajn ecojn kaj ligitajn demandojn, ekzemple kiuj regulaj plurlateroj krom la kvinlateroj estas desegneblaj per liniilo kaj cirkelo, kial por ĉiu reela nombro ekzistas frakcioj almenaŭ tiom proksimaj al la nombro kiel por la ora nombro (do ĝi estas la plej malbona rilate la eblon trovi proksimajn frakciojn).[1]

Ora sekco estas divido de difinita distanco je du partoj, per kiu la rilato de la malgranda parto al la granda estas la sama kiel la rilato de la granda al la tuto. Se la tuta longo estas a kaj la pli granda parto estas x, tiam la pli malgranda parto estas ax. La proporcio estas do (ax) : x = x : a.

La bazo de la ora proporcio estas la nombro fi (Φ, φ) :

Kalkulado

redakti
Listo de nombrojNeracionalaj nombroj
ζ(3)√2√3√5φαeπδ
En duuma sistemo 1.1001111000110111011...
En dekuma sistemo 1.6180339887498948482...
En deksesuma sistemo 1.9E3779B97F4A7C15F39...
kiel senfina frakcio  
kiel senfina radiko  
Algebra nombro  

Du kvantoj pozitivaj a kaj b estas en la ora proporcio  , se

 

Ĉi tiu ekvacio difinas senambigue la nombron  

La ekvacio dekstra montras, ke  , kion ni substituu en la maldekstra parto:

 

Oni povas elimini b-on, kio donas

 
 

Multiplikante ambaŭ flankojn per   kaj transŝovante terminojn, ni ricevas

 

La nura pozitiva solvo de ĉi tiu kvadrata ekvacio estas

 

Ora vico

redakti
Ora vico pri a0 = 1
   
4 ≈ 6,854  
3 ≈ 4,236  
2 ≈ 2,618  
1 ≈ 1,618  
0 = 1,000  
−1 ≈ 0,618  
−2 ≈ 0,382  
−3 ≈ 0,236  
−4 ≈ 0,146  

Pri donita nombro  , konstruu sekvencon   por  . Ĉi tiu vico havas la proprecon, ke ĉiu tri sinsekvaj termoj   kongruas al oraj proprcioj, tio estas:

  kie   por ĉiuj  

Ĉi tiu vico grave rolas en la teorio de proporcioj en arto kaj arĥitekturo, ĉar por donita longo   aliaj harmoniaj aspektoj povas esti generitaj. Kiel rezulto, objektoj de tre malsamaj dimensioj, kiel fenestro kaj larĝa ĉambro, povas esti rilatigitaj per la ora proporcio kaj krei tutan serion de harmoniaj dimensioj.

Valoras noti sur la apuda tabelo, ke pri   pri la tri elementoj de la vico   kaj  , la diferenco inter ili estas entjero.

Vidu ankaŭ

redakti
  1. François Lo Jacomo, La ora nombro, en IKU-libro de 2020, Internacia Kongresa Universitato, Universala Esperanto-Asocio. Red. Anna Striganova, Dmitrij Ŝevĉenko, Amri Wandel, Eldonejo «Impeto», Tutmonde, 73-a sesio, 01a — 08a de aŭgusto 2020, 106 pp. pp. 20-35. ISBN 978-5-7161-0314-6