Permuta hiperpluredro

La permuta hiperpluredro de ordo 4

En matematiko, la permuta hiperpluredro de ordo n estas (n − 1)-dimensia hiperpluredro enigita en n-dimensia spaco, koordinatoj de verticoj de kiu estas formitaj per permutado de la vektoro (1, 2, 3, ..., n).

La permuta hiperpluredro de ordo n estas ankaŭ la entutotranĉita (n − 1)-simplaĵo.


EkzemplojRedakti

Ordo Verticoj Dimensio Nomo Bildo
1 1 0 Punkto ·
2 2 1 Streko
3 6 2 (plurlatero) Seslatero  
4 24 3 (pluredro) Senpintigita okedro  
5 120 4 (plurĉelo) Entutotranĉita 5-ĉelo  

La ses permutoj de (1, 2, 3) formas verticojn de la seslatero en la ebeno x + y + z = 6, kiu estas pro tio la permuta hiperpluredro de ordo 3.

La 24 permutoj de (1, 2, 3, 4) formas verticojn de la senpintigita okedro en la tri-dimensia subspaco x + y + z + w = 10, kiu estas pro tio la permuta hiperpluredro de ordo 4.

La 120 permutoj de (1, 2, 3, 4, 5) formas verticojn de la entutotranĉita 5-ĉelo en la kvar-dimensia subspaco x1+x2+x3+x4+x5=15, kiu estas pro tio la permuta hiperpluredro de ordo 5.

PropraĵojRedakti

La permuta hiperpluredro de ordo n havas n! verticoj, ĉiu el kiuj estas najbara al n − 1 la aliaj, do la entuta kvanto de lateroj estas (n − 1)n!/2. Ĉiu latero havas longon √2, kaj koneksas du verticojn kiuj diferenciĝas per interŝanĝo de du koordinatoj, la valoroj de kiuj diferenciĝas je 1.

La entuta kvanto de hiperedroj estas 2n − 2.

La permuta hiperpluredro estas vertico-transitiva: la simetria grupo Sn agas je la permuta hiperpluredro per permuto de koordinatoj.

La permuta hiperpluredro de ordo n kuŝas tute en la (n − 1)-dimensia hiperebeno konsistanta de ĉiuj punktoj kies sumo de la koordinatoj egalas al

1 + 2 + ... + n = n(n + 1)/2.

KahelaroRedakti

Ankaŭ, ĉi tiu hiperebeno povas esti kahelita per la malfinie multaj movitaj kopioj de la permuta hiperpluredro. Ĉiu de ilin diferencas de la baza permuta hiperpluredro per ero de certa (n − 1)-dimensia krado, kiu konsistas el la n-opoj de entjeroj sumo de kiuj estas 0 kaj kiuj je modulo n estas ĉiuj inter si egalaj:

x1 + x2 + … + xn = 0,     x1x2≡ … ≡xn (mod n).

Ekzemplo por ordo 4Redakti

 
Dutranĉita kuba kahelaro – kahelaro de 3-spaco farita nur el permutaj hiperpluredroj de ordo 4

La 3-dimensia spaco estas la afina subspaco de la 4-dimensia spaco R4 kun koordinatoj x, y, z, w tiaj ke

x + y + z + w = 10.

Jenaj vektoroj verigas la kondiĉon por la krado:

(1,1,1,−3), (1,1,−3,1), (1,−3,1,1) kaj (−3,1,1,1),

la sumo de la koordinatoj estas nulo kaj ĉiuj koordinatoj egalas al 1 (mod 4). Iuj ajn tri el ĉi tiuj vektoroj estas generantaro de grupo por la mova krado.

Vidu ankaŭRedakti

Eksteraj ligilojRedakti