Plurlineara funkcio

En lineara algebro, plurlineara funkcio estas funkcio de kelkaj variabloj, kiu estas lineara je ĉiu el la variabloj.

Plurlineara funkcio de n variabloj estas ankaŭ nomata ĵ n-lineara funkcio.

Se ĉiuj variabloj apartenas la sama spaco, povas esti konsiderata simetria, malsimetria kaj alterna n-linearaj mapoj. La lastaj du koincidas se la ringo (aŭ kampo) havas karakterizon malsama de du, aliokaze la unuaj du koincidas.

Ĝenerala diskuto de ĉi tiuj funkcioj estas je plurlineara algebro.

Subspecoj

Plurlineara funkcio estas simetria se ĝia valoro ne ŝanĝiĝas se interŝanĝi iuj ajn argumentojn de la funkcio

f(x_{1},\dots ,x_{n})=f(x_{1},\dots ,x_{i-1},x_{j},x_{i+1},\dots ,x_{j-1},x_{i},x_{j+1},\dots ,x_{n})

Plurlineara funkcio estas deklivo-simetria aŭ malsimetria se ĝia valoro ŝanĝas sian signumon se interŝanĝi iuj ajn du argumentojn de la funkcio

f(x_{1},\dots ,x_{n})=-f(x_{1},\dots ,x_{i-1},x_{j},x_{i+1},\dots ,x_{j-1},x_{i},x_{j+1},\dots ,x_{n})

Plurlineara funkcio estas alterna se

[\exists i\neq j,x_{i}=x_{j}]\Rightarrow f(x_{1},\dots ,x_{n})=0

Alivorte ĝi valoro estas 0 se inter la argumentoj estas almenaŭ du la samaj

f(..., v, ..., v, ...) = 0

Sekve de ĉi tio, valoro f(v₁, ...,v_n) de alterna plurlineara funkcio de estas 0 se ĝi argumentoj v_i estas ne lineare sendependaj.

Ekzemploj

Ena produto super la reela nombra kampo (skalara produto) estas simetria dulineara funkcio de du vektoraj variabloj.
Vektora produto estas deklivo-simetria dulineara funkcio de du vektoraj variabloj.
Determinanto de matrico estas deklivo-simetria plurlineara funkcio de la kolumnoj (aŭ linioj)) de kvadrata matrico.
Spuro de matrico estas plurlineara funkcio de la kolumnoj (aŭ (linioj, vicoj)) de kvadrata matrico.
Dulinearaj mapoj estas plurlinearaj mapoj.

Plurlinearaj funkcioj sur kvadrataj matricoj

Oni povas konsideri plurlinearajn funkciojn, sur n×n kvadrata matrico super komuta ringo K kun idento, kiel funkcio de la linioj (aŭ ekvivalente de la kolumnoj) de la matrico. Estu A ĉi tia matrico kaj a_i, 1 ≤ i ≤ n estu la linioj de A. Tiam la plurlineara funkcio D povas esti skribita kiel

D(A)=D(a_{1},\ldots ,a_{n})

tia ke

D(a_{1},\ldots ,ca_{i}+a_{i}',\ldots ,a_{n})=cD(a_{1},\ldots ,a_{i},\ldots ,a_{n})+D(a_{1},\ldots ,a_{i}',\ldots ,a_{n})

Se ε_j estas la j-a linio de la identa matrico, oni povas esprimi ĉiun linion a_i kiel sumo

a_{i}=\sum _{j=1}^{n}A(i,j)\varepsilon _{j}

Uzante ĉi tiun esprimon por a₁ la _multilinearity_ de D la D(A) povas esti skribita kiel

D(A)=D\left(\sum _{j=1}^{n}A(1,j)\varepsilon _{j},a_{2},\ldots ,a_{n}\right)=\sum _{j=1}^{n}A(1,j)D(\varepsilon _{j},a_{2},\ldots ,a_{n})

Plu faranta ĉi tiun anstataŭon por ĉiu $a_{i}$ rezultas

D(A)=\sum _{k_{1}=1}^{n}\sum _{k_{2}=1}^{n}\dots \sum _{k_{n}=1}^{n}A(1,k_{1})A(2,k_{2})\dots A(n,k_{n})D(\varepsilon _{k_{1}},\dots ,\varepsilon _{k_{n}})

Tiel D(A) estas plene difinita per tio kiel D operacias sur $\varepsilon _{k_{1}},\dots ,\varepsilon _{k_{n}}$ .

Ĉe 2×2 matricoj estas

D(A)=A_{1,1}A_{2,1}D(\varepsilon _{1},\varepsilon _{1})+A_{1,1}A_{2,2}D(\varepsilon _{1},\varepsilon _{2})+A_{1,2}A_{2,1}D(\varepsilon _{2},\varepsilon _{1})+A_{1,2}A_{2,2}D(\varepsilon _{2},\varepsilon _{2})

Kie ε₁ = [1, 0] kaj ε₂ = [0,1]. Se D estas alterna funkcio tiam D(ε₁, ε₁) = D(ε₂, ε₂) = 0 kaj D(ε₁, ε₂) = -D(ε₂ , ε₁) = D(I). Se D(I) = 1 rezultas la determinanta funkcio sur 2×2 matricoj:

D(A) = A_{1, 1} A_{2, 2} - A_{1, 2} A_{2, 1}

Kontinueco

Se la valoro kaj la argumentoj v_i de plurlineara funkcio f(v₁, ...,v_n) estas eroj de spaco kun normo, do eblas uzi difinon de kontinueco de f.

Tiam f estas kontinua se kaj nur se estas tia M>0 ke por ĉiu kolekto de la argumentoj (v₁, ...,v_n)

||f(v₁, ...,v_n)|| ≤ M ||v₁|| ··· ||v_n)||

kie en la dekstra flanko estas produto.

Propraĵoj

Plurlineara funkcio ĉiam havas valoron de nulo, se unu el ĝiaj argumentoj estas nulo.

Por n>1, la sola n-lineara funkcio, kiu estas ankaŭ lineara funkcio estas la nula funkcio.