Freŝea spaco

En funkcionala analitiko, freŝea spaco estas kompleta loke konveksa spaco.

Difino

Freŝea spaco estas Hausdorff-a topologia vektora spaco $V$, kies topologio estas difinebla per kalkulebla familio de duonnormoj

$\|-\|_{0},\,\|-\|_{1},\,\|-\|_{2},\dotsc \colon V\to \mathbb {R} _{\geq 0}$,

kaj kiu estas kompleta laŭ tiu familio.

Ĉi-supre, la topologio difinita de la familio de duonnormoj estas tia, ke subaro $U\subseteq V$ estas malfermita subaro se kaj nur se, por ĉiu $x\in U$, ekzistas pozitiva entjero $N\in \mathbb {Z} ^{+}$ tia ke

$\{v\in V\colon \forall i\geq N\colon \|v-x\|<1/N\}\subseteq U$.

Ĉi-supre, la topologio estas kompleta se kaj nur se ĉiu koŝia serio konverĝas; koŝia serio laŭ la familio de duonnormoj estas serio

$\sum _{i=0}^{\infty }v$

tia ke, por ĉiu $j$, la serio de la duonnormo $\|-\|_{j}$ konverĝas:

$\sum _{i=0}^{\infty }\|v_{i}\|_{j}<\infty$.

Ekzemploj

Ĉiu banaĥa spaco estas freŝea spaco.

La spaco de glataj reelvaloraj funkcioj

${\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$

estas nature freŝea spaco per la serio de duonnormoj

$\|f\|_{k,n}=\max _{-n\leq x\leq n}\left|{\frac {\mathrm {d} ^{k}}{\mathrm {d} x^{k}}}f\right|$.

Ĉi tiu spaco ne estas banaĥa spaco.

Historio

La koncepto de freŝea spaco estas nomita laŭ la franca matematikisto kaj esperantisto Maurice René Fréchet (Esperante Maŭrico Renato Freŝeo).

Eksteraj ligiloj

• Fréchet space (angle). Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag, Eŭropa Matematika Societo.