Banaĥa spaco

En analitiko, banaĥa spaco estas vektora spaco kun kompleta normo.

Difino

Supozu ke $\mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}$ estas la kampo de la reeloj aŭ la kompleksaj nombroj. Do, banaĥa spaco super la korpo $\mathbb {K}$ konsistas el la ĉi-suba dateno:

• vektora spaco $V$ super $\mathbb {K}$
• normo $\|-\|\colon V\to \mathbb {R} _{\geq 0}$

kiu plenumas la jenan aksiomon:

• difininte la metrikon kiel $d(u,v)=\|u-v\|$, do $(V,d)$ estas kompleta metrika spaco.

Alivorte, pri ajna vico de vektoroj $v_{i}\in V$, se la sumo de normoj konverĝas,

$\exists \sum _{i}\|v_{i}\|$

do ankaŭ konverĝas la sumo de la vektoroj mem:

$\exists \sum _{i}v_{i}\in V$.

Ekzemploj

Ĉiu hilberta spaco estas banaĥa spaco.

Ĉiu finidimensia vektora spaco kun normo estas banaĥa; kompleteco estas netriviala nur pri nefinidimensiaj spacoj.

Historio

La banaĥa spaco estas nomita laŭ la pola matematikisto Stefan Banach (Esperante Stefano Banaĥo).

Referencoj

• Fréchet, Maurice René (1961). “Ĉu la spaco de la kurboj estas Banach-a spaco ?”, Journal de Mathématiques pures et appliquées (eo) 40, p. 197. 

Eksteraj ligiloj

• Eric W. Weisstein, Banach space en MathWorld.