Aksiomoj de kvantuma mekaniko

La aksiomoj de kvantuma mekaniko estas la matematikaj aksiomoj kiujn fizika teorio devas verigi por ke ĝi estas kvantuma teorio. Ili specifas la matematikan formon de propraĵoj de fizika sistemo: statoj, observeblaĵoj, kaj tempevoluo.

Historio

Originale, teorioj de kvantumaj fenomenoj estis faritaj nesisteme kaj senprincipe. Fizikistoj kiel Max Planck kaj Albert Einstein trovis malprecizajn ideojn de la ĝenerala karaktero de kvantumaj sistemoj; ekz., la energio de kvantuma sistemo estas kvantumita po unuoj nomataj kvantumojn. Sed ne ekzistis matematika, klara kadro sur kio oni povis derivi tiujn ideojn. Tiaj ĉi teorioj nomiĝas malnova kvantuma teorio.

En 1925, la germana fizikisto Werner Heisenberg trovis la unuan ĝustan priskribon de kvantuma mekaniko uzante matricojn; en 1926 alia germana fizikisto Erwin Schrödinger trovis alian, sed kiel validan, priskribon de kvantuma mekaniko bazita sur ondoj. En 1930, la angla fizikisto Paul Dirac, en lia libro Principles of Quantum Mechanics (Principoj de kvantuma mekaniko), pruvis ekvivalentecon de la matrica kaj onda priskriboj. Sed tiu ĉi libro ne estis matematike zorgema.

La moderna priskribo de kvantuma mekaniko, rigora matematike, estis farita principe de John von Neumann en lia libro Mathematical Foundations of Quantum Mechanics (Matematikaj fundamentoj de kvantuma mekaniko). Li uzis ilojn el funkcionala analitiko, kiel Hilberta spaco kaj distribuoj, en sia rigora priskribo.

La aksiomoj

Fizika sistemo konsistas el tri baza aĵoj: spaco de statoj (en kio la sistemo povas esti); aro de observeblaĵoj (kvantoj kiujn eksperimentisto povas observi el la sistemo); kaj leĝo de tempevoluo (laŭ kio la sistemo ŝanĝas sian staton). La sekva aksiomoj specifas matematikajn modelojn por statoj, observeblaĵoj, kaj tempevoluo.

• La spaco de statoj estas apartigebla Hilberta spaco $({\mathcal {H}},\langle \cdot |\cdot \rangle )$. Stato estas elemento de tiu ĉi spaco ${\mathcal {H}}$ (pli precize, radio en ${\mathcal {H}}$, aŭ ekvivalentklaso sub la rilato $\psi \sim \phi$ s.n.s. $\psi =c\phi$ por iu kompleksa nombro $c$, sur nenula elementoj de ${\mathcal {H}}$.) La ena produkto $\langle \psi |\phi \rangle$ signifas (alprenante ke $|\psi |=|\phi |=1$) la amplitudo de probablo de transiro el la stato $|\psi \rangle$ al la stato $|\phi \rangle$: tio estas, la probablo transiri el $|\psi \rangle$ al $|\phi \rangle$ (sub "mezurprocezo") estas $|\langle \psi |\phi \rangle |^{2}$.
  • Apartigebleco estas topologia propraĵo de spacoj. Hilberta spaco estas apartigebla s.n.s. ĝi havas numereblan ortnormalan bazon.
  • Povas ke iu statoj en la spaco de statoj estas fakte nefizikaj. Du statoj $|\psi \rangle$ kaj $|\phi \rangle$ estas apartigita per superselektadaj sektoroj se ne ekzistas ia ajn observeblaĵoj A ke nenuligas $\langle \psi |A|\phi \rangle$. Nefizika estas stato apartigata per superselektadaj sektoroj el ĉiuj fizikaj statoj.
• La observeblaĵoj estas dense difinitaj, memadjunktaj operatoroj je ${\mathcal {H}}$. La atendata valoro de la observablaĵo $A$ kiam la sistemo estas en stato $\psi$ estas $\langle \psi |A|\psi \rangle$. La aro de eblaj valoroj de $A$ estas la aro de sia ajgenoj (aŭ, pli precize, elemento el sia spektro).
• La Hamiltona operatoro $H$ estas observeblaĵo ke specifas la tempevoluon. La teoremo de Stone donas ensurĵeton inter la dense difinitaj memadjunktaj operatoroj kaj forte kontinua unuparametra familio de unitaj operatoroj, tio estas, $A\leftrightarrow U(t)=\exp(\mathrm {i} tA)$. La valoro de observeblaĵo $A$ ĉe tempo $t$, por sistemo kiu estas en stato $|\psi _{0}\rangle$ ĉe tempo $t=0$, estos jeno:

$\langle A\rangle (t)=\langle \psi _{0}|\exp(-\mathrm {i} tH)A\exp(\mathrm {i} tH)|\psi _{0}\rangle$.

La Hamiltona operatoro havas unuon de energio. Tial, kiam uzanta la internacian sistemo de unuoj, oni devas aldoni konstanton de Planck $\hbar$ al tiu ĉi formulo: nome, $\exp(\mathrm {i} \hbar tH)$ k.t.p. Teoriaj fizikistoj, tamen, normale uzas sistemon de unuoj kun $\hbar =1$.

Du metodoj povas interpreti tiun ĉi formulon de tempevoluo:

• En la Schrödingera vidpunkto, la stato de la sistemo ŝanĝiĝas laŭ tempo, nome, la stato ĉe tempo $t$ estas $|\psi (t)\rangle =\exp(\mathrm {i} tH)|\psi _{0}\rangle$. La observeblaĵoj (kiel operatoroj) ne ŝanĝiĝas. (Tiu ĉi vidpunkto estas farita de Erwin Schrödinger.)
• En la Heisenberga vidpunkto, la stato de la sistemo ne ŝanĝiĝas; ĉia observeblaĵo ŝanĝiĝas laŭ $A(t)=\exp(-\mathrm {i} tH)A\exp(\mathrm {i} tH)$. (Tiu ĉi vidpunkto estas farita de Werner Heisenberg.)

Kombinita sistemo

Ofte, unu sistemo estas farita el malgrandaj sistemoj kunigitaj.

• Supozu du sistemoj kombiniĝas formi pli granda sistemo: Sistemo 1 kun stata spaco ${\mathcal {H}}_{1}$ kaj Sistemo 2 kun stata spaco ${\mathcal {H}}_{2}$. Tiam la kombinita sistemo havas kiel stata spaco jenon:
  • se sistemo 1 kaj 2 estas distingebla, la tensoran produton ${\mathcal {H}}={\mathcal {H}}_{1}\otimes {\mathcal {H}}_{2}$;
  • se sistemo 1 kaj 2 estas nedistingebla kaj sekvas statistiko Bose-Einstein, la simetriigitan tensoran produton ${\mathcal {H}}=({\mathcal {H}}_{1}\otimes {\mathcal {H}}_{2})/V$, kie $V$ estas la subspaco generita per elementoj kiel $|\psi \rangle \otimes |\phi \rangle -|\phi \rangle \otimes |\psi \rangle$;
  • se sistemo 1 kaj 2 estas nedistingebla kaj sekvas statistiko Fermi-Dirac, la malsimetriigitan tensoran produton ${\mathcal {H}}=({\mathcal {H}}_{1}\otimes {\mathcal {H}}_{2})/V$, kie $V$ estas la subspaco generita per elementoj kiel $|\psi \rangle \otimes |\phi \rangle +|\phi \rangle \otimes |\psi \rangle$.

La statistiko de relativa sistemo sekvas ĝia spinon.

La Hamiltona operatoro de la kunigita sistemo estas sumo de Hamiltona operatoroj de ĉia subsistemoj, eble kun interagaj termoj.

La procezo de mezuro

Kvantuma teorio estas nedeterminisma en senco ke, por du sistemoj same preparitaj en saman difinitan staton $|\psi \rangle$, oni povas mezuri malsamajn valorojn por ia observableĵo $A$. La eblaj mezuritaj valoroj de $A$ apartenas al spektro de $A$ (difinita laŭ mezurteorio). Se la spektro estas diskreta, la spektro estas aro de ajgenoj; tamen ekzistas observeblaĵoj kun kontinuaj spektroj (ekz., pozicio aŭ movokvanto). La probabla distribuo sur eblaj valoroj de $A$ por sistemo en stato $|\psi \rangle$ estas

$\operatorname {d} p(\lambda )=\langle \psi |\operatorname {d} \operatorname {E} _{A}(\lambda )|\psi \rangle$

kie $\operatorname {E} _{A}$ estas la projekcivalorata mezuro de $A$ (t.e. $A=\int \lambda \operatorname {d} \operatorname {E} _{A}(\lambda )$). Se la spektro estas diskreta, la formulo simpliĝas jenen:

$p(\lambda )=\sum _{v\in B_{\lambda }}|\langle v|\psi \rangle |^{2}$

kie $B_{\lambda }$ estas ortnormala bazo de ajgenspaco de ajgeno $\lambda$.

Post mezuro de ia observeblaĵo $A$ el sistemo en komenca stato $|\psi \rangle$, kiam la mezurita valoro de $A$ estas $\lambda$, la stato de la sistemo aperas ŝanĝi sendaŭre kaj nekontinue al $\operatorname {E} _{A}(\lambda )|\psi \rangle$. Tiu ĉi procezo estas nomita kolapson de ondfunkcio. Ke tiu ĉi procezo estas reala estas vidpunkto de la interpretado de Copenhagen, sed ekzistas aliaj interpretadoj kiuj malkonfirmas la realecon de tia ĉi "kolapso". Almenaŭe, tiu ĉi procezo estas necesa por ordinaraj kalkuloj.

Referencoj

• S. Auyang, How is Quantum Field Theory Possible?, Oxford University Press, 1995.
• D. Edwards, The Mathematical Foundations of Quantum Mechanics, Synthese, 42 (1979),pp. 1–70.
• G. Emch, Algebraic Methods in Statistical Mechanics and Quantum Field Theory, Wiley-Interscience, 1972.
• A. Gleason, Measures on the Closed Subspaces of a Hilbert Space, Journal of Mathematics and Mechanics, 1957.
• J.M. Jauch, Foundations of quantum mechanics, Addison-Wesley Publ. Cy., Reading, Mas., 1968.
• R. Jost, The General Theory of Quantized Fields, American Mathematical Society, 1965.
• T.S. Kuhn, Black-Body Theory and the Quantum Discontinuity, 1894–1912, Clarendon Press, Oxford and Oxford University Press, Novjorko, 1978.
• G. Mackey, Mathematical Foundations of Quantum Mechanics, W. A. Benjamin, 1963 (represita de Dover 2004).
• J. von Neumann, Mathematical Foundations of Quantum Mechanics, Princeton University Press, 1955.
• M. Reed kaj B. Simon, Methods of Mathematical Physics, volumoj I–IV, Academic Press 1972.
• R. F. Streater kaj A. S. Wightman, PCT, Spin and Statistics and All That, Benjamin 1964 (represita de Princeton University Press).
• G. Teschl, Mathematical Methods in Quantum Mechanics with Applications to Schrödinger Operators, American Mathematical Society, 2009.
• N. Weaver, "Mathematical Quantization", Chapman & Hall/CRC 2001.
• H. Weyl, The Theory of Groups and Quantum Mechanics, Dover, 1950.

Vidu ankaŭ

• Kvantuma mekaniko