Kvadrata formo

En matematiko, kvadrata formo estas homogena polinomo de grado 2 de iu kvanto de variabloj.

Kvadrataj formoj de unu, du, kaj tri variabloj estas donitaj kiel:

F(x) = ax²

F(x,y) = ax² + by² + cxy

F(x,y,z) = ax² + by² + cz² + dxy + exz + fyz

Ekzemple,

3x² + 2xy - 5y²

estas kvadrata formo de la variabloj x kaj y.

La koeficientoj estas eroj de ringo.

Noto ke kvadrata funkcio (parto kvadrata ekvacio de unu flanko de la egaleco, se la alia flanko estas nulo) ne nepre estas kvadrata formo, ĉar kvadrata funkcio ne nepre estas homogena polinomo.

Ĉiu ne ĉie nula kvadrata formo de n variabloj difinas (n-2)-dimensian kvadrikon en projekcia spaco. Tiel eblas bildigi 3-dimensiajn kvadratajn formojn kiel konikoj.

La termino kvadrata formo estas ankaŭ ofte uzata por kvadrata spaco, kiu estas paro (V, Q) kie V estas vektora spaco super kampo k, kaj Q: V → k estas kvadrata formo sur V.

Asociita dulineara funkcio

Se en la ringo la valoro 2 estas inversigebla, kio estas ke ${\frac {1}{2}}$ povas esti kalkulita (ekzemple, super kampo de karakterizo ne egala al 2), estas unu al unu interrilato inter kvadrataj formoj kaj simetriaj dulinearaj funkcioj, en ĉi tiu ĉirkaŭteksto ofte nomataj kiel simple simetriaj formoj. Ili estas tial ofte konfuzitaj, kiel en integralo kvadrataj formoj (vidui pli sube). Tamen, ili estas malsamaj konceptoj, kaj la distingo estas ofte grava.

Intuicie, simetria formo estas ĝeneraligo de xy, dum kvadrata formo estas ĝeneraligo de $x^{2}$, kaj unu povas pasi inter ĉi tiuj tra la polarizaj identoj.

Por donita kvadrata formo Q, la asociita simetria formo aŭ asociita dulineara funkcio B estas

B(u, v) = Q(u+v) - Q(u) - Q(v)

Ĉi tio respektivas al

2xy = (x+y)² - x² - y²

Male, por donita dulineara funkcio D (kiu ne nepre estas simetria), oni ricevas kvadratan formon R per

R(u) = D(u, u)

Ĉi tio respektivas al

x² = x·x

Se komponi ĉi tiujn du operaciojn se starti de kvadrata formo

Q₁(u) = B(u, u) = Q(u+u) - Q(u) - Q(u)

aŭ de simetria dulineara funkcio

D₁(u, v) = R(u+v) - R(u) - R(v) = D(u+v, u+v) - D(u, u) - D(v, v)

rezultas multipliko per 2:

Q₁(u) = 2Q(u)

D₁(u, v) = 2D(u, v)

tial se 2 estas inversigebla, ĉi tiuj operacioj estas inversigeblaj (la polarizaj identoj):

$D(u,v)={\frac {1}{2}}\left(R(u+v)-R(u)-R(v)\right)$

analoge al

$xy={\frac {1}{2}}\left((x+y)^{2}-x^{2}-y^{2}\right)$

kaj

$Q(u)={\frac {1}{2}}B(u,u)$

analoge al

$xy={\frac {1}{2}}\left(2xx\right)$

Ĉi tio donas unu al unu interrilaton inter kvadrataj formoj sur V kaj simetriaj formoj sur V.

Sed se 2 estas ne inversigebla, simetriaj formoj kaj kvadrataj formoj estas malsamaj: iu kvadrataj formoj ne povas esti skribitaj en la formo B(u, u), ekzemple, super la entjeroj, x²+xy+y² kaj xy.

Matrica priskribo

Ĉiu 2-dimensia kvadrata formo povas esti skribita kiel

Q(x, y) = ax² + bxy + cy²

Estu u = (x, y)^T kolumna vektoro en la 2-dimensia vektora spaco. La kvadrata formo Q povas esti esprimita per 2×2 matrico M

$M={\begin{bmatrix}a&{\frac {1}{2}}b\\{\frac {1}{2}}b&c\end{bmatrix}}$

per matrica multipliko:

$Q(u)=u^{T}Mu$

kie u^T estas la transpono de u. La inversigebleco de 2 estas grava, pro tio ke estas multipliko je ${\frac {1}{2}}$ en la difino de M. Tiel estas unu al unu interrilato inter 2-dimensiaj kvadrataj formoj Q kaj 2×2 simetriaj matricoj M.

Ĉi tio povas esti ĝeneraligita al formoj de n variabloj kaj n×n simetriaj matricoj.

La asociitan dulinearan funkcion B eblas skribi per simetria matrico S:

$B(u,v)=u^{T}Sv$

La komponantoj de S estas donitaj per S_ij = S(e_i, e_j) kie {e_i} estas la normala bazo de V. Ĉiu e_i havas la solan egalan al unu komponanton je la i-a koordinato kaj ĉiuj la aliaj ĝiaj komponantoj estas nulaj. Se 2 estas inversigebla la kvadrata formo Q estas donita per

$Q(u)={\frac {1}{2}}B(u,u)={\frac {1}{2}}u^{T}Su={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}S_{ij}u_{i}u_{j}$

kie u_i estas la komponantoj de u. Tiel la matrico de kvadrata formo kaj la matrico de la asociita dulineara funkcio estas interligitaj kiel

$M={\frac {1}{2}}S$

Propraĵoj

Du eroj u kaj v de V estas nomataj kiel perpendikularaj kun respekto al dulineara funkcio B se B(u, v)=0.

La kerno de dulineara funkcio B konsistas el la eroj kiuj estas perpendikularaj al ĉiuj eroj de V. La kerno de kvadrata formo Q konsistas el ĉiuj eroj u de la kerno de B tiaj ke Q(u)=0. Se 2 estas inversigebla tiam Q kaj ĝia asociita dulineara funkcio B havas la samajn kernojn.

La dulineara funkcio B estas nomata kiel nesingulara se ĝia kerno konsistas nur el la ero 0, kaj la kvadrata formo Q estas nomata kiel nesingulara se ĝia kerno konsistas nur el la ero 0.

La perpendikulara grupo de ne-singulara kvadrata formo Q estas la grupo de aŭtomorfioj de V kiuj konservas la kvadratan formon Q.

Kvadrata formo Q estas nomata kiel izotropa kvadrata formo se estas ne-nula v en V tia ke Q(v)=0. Alie ĝi estas nomata kiel neizotropa kvadrata formo. Vektoro aŭ subspaco de kvadrata spaco povas ankaŭ esti nomata kiel izotropa. Se Q(v)=0 por ĉiu v en V tiam Q estas nomata kiel tutece singulara.

Iuj la aliaj propraĵoj de kvadrataj formoj estas:

• Formulo por multipliko de argumento de kvadrata formo Q per nombro (ero el la ringo) a:

Q(au) = a²Q(u)

• Se B estas asociita dulineara funkcio de kvadrata formo Q do estas formulo por valoro de la kvadrata formo de sumo de argumentoj:

$Q(u+v)={\frac {1}{2}}B(u+v,u+v)={\frac {1}{2}}(B(u,u+v)+B(v,u+v))={\frac {1}{2}}(B(u,u)+B(u,v)+B(v,u)+B(v,v))=Q(u)+Q(v)+B(u,v)$

• La paralelograma leĝo:

Q(u+v) + Q(u-v) = 2Q(u) + 2Q(v)

• La vektoroj u kaj v estas perpendikularaj kun respekto al la asociita dulineara funkcio B se kaj nur se

Q(u+v) = Q(u) + Q(v)

Ekvivalenteco de kvadrataj formoj

Estu (V, Q) kaj (W, Q') du kvadrataj spacoj super kampo F. Ili estas ekvivalentaj se ekzistas izomorfio de vektoraj spacoj s: V → W tia ke

Q'(s(x))=Q(x)

veras por ĉiuj x en V. La izomorfio s estas nomata kiel izometrio de (V, Q) al (W, Q'). Ĉi tiu nocio de ekvivalenteco estas ekvivalentrilato sur kvadrataj formoj.

Se la karakterizo de F estas ne 2, ĉiu kvadrata formo Q sur n-dimensia F-vektora spaco V estas ekvivalenta al diagonala formo

$Q_{d}(x)=a_{1}x_{1}^{2}+a_{2}x_{2}^{2}+...+a_{n}x_{n}^{2}$

kie $x=(x_{1},...,x_{n})^{T}\in V$. Ĉi tia diagonala formo estas ofte skribata kiel $\langle a_{1},...,a_{n}\rangle$.

Ĉiu diagonala formo Q super n-dimensia kompleksa vektora spaco estas ekvivalenta al diagonala formo de la formo <1, ..., 1, 0, ..., 0> kie la koeficiento 1 okazas r fojojn. Por donita formo Q la nombro r estas unike difinita.

Ĉiu diagonala formo Q super n-dimensia reela vektora spaco estas ekvivalenta al diagonala formo de la formo <1, ..., 1, -1, ..., -1, 0, ..., 0> kie la koeficiento 1 okazas r fojojn kaj la koeficiento -1 okazas s fojojn. Por donita formo Q la nombroj r kaj s estas unike difinitaj.

Ankaŭ por finia kampo F la klasifiko de la ekvivalentklasoj de kvadrataj formoj sur finie dimensiaj vektoraj spacoj estas simpla. La racionala okazo estas pli komplika, sed ankaŭ solvita per la teoremo de Hasse-Minkowski.

Vidu plu en leĝo de inercio de Sylvester

Reelaj kvadrataj formoj

Estu Q kvadrata formo difinita sur reela vektora spaco.

• Q estas pozitive difinita se Q(v)>0 por ĉiu vektoro v≠0. Tiam Q estas nesingulara kaj neizotropa.
• Q estas negative difinita se Q(v)<0 por ĉiu vektoro v≠0. Tiam Q estas nesingulara kaj neizotropa.
• Q estas pozitive duondifinita se Q(v)≥0 por ĉiu vektoro v.
• Q estas negative duondifinita se Q(v)≤0 por ĉiu vektoro v.
• Q estas nedifinita se ekzistas v₁ tia ke Q(v₁)>0 kaj v₂ tia ke Q(v₂)<0.

Estu A la reela simetria matrico asociita kun Q kiel estas priskribite pli supre, do por ĉiu kolumna vektoro v

Q(v)=v^TAv

Tiam, Q estas pozitive difinita, negative difinita, pozitive duondifinita, negative duondifinita, nedifinita, se kaj nur se la matrico A havas la samnoman propraĵon (vidu en pozitive difinita matrico).

Ĉiu n-dimensia nesingulara reela kvadrata spaco (V, Q) havas perpendikularan dispartigon U₁ ⊥ U_-1 tian ke Q limigita al U₁ estas pozitive difinita kaj Q limigita al U_-1 estas negative difinita. Tial ĉi tiuj subspacoj estas supren ĝis izometrio unike difinitaj kaj de ĉi tie iliaj dimensioj estas ankaŭ unike difinita. La entjero

sgn(Q) = dim(U₁) - dim(U_-1)

estas nomata kiel la signumo de q, kie dim prezentas dimension de la spacoj.

La nombro

s(Q) = dim(U_-1)

estas nomata kiel la indekso de inercio de q.

La dimensioj de U₁ kaj U_-1 estas la samaj kiel kvantoj de koeficientoj 1 kaj -1 en la ekvivalenta diagonala formo.

Integralaj kvadrataj formoj

Kvadrata formo super la ringo de entjeroj estas nomata kiel integrala kvadrata formo aŭ integrala krado. Ili estas gravaj en nombroteorio kaj topologio.

Integrala kvadrata formo estas formo kun entjeraj koeficientoj.

Historio de la nocio

Historie estis iu konfuzo kaj diskuto pri la nocio de integrala kvadrata formo. Estis du variantoj:

duoj ene: la kvadrata formo asociita al simetria matrico kun entjeraj koeficientoj

duoj ekstere: polinomo kun entjeraj koeficientoj, tiel la asociita simetria matrico povas havi duono-entjerajn koeficientojn ne en la ĉefa diagonalo.

Ĉi tiu debato estis pro la konfuzo de kvadrataj formoj prezentita per polinomoj kaj simetriaj dulinearaj funkcioj prezentitaj per matricoj. La "duoj ekstere" estas nun la akceptis konvencio; "duoj en" estas uzata en teorio de integralaj simetriaj dulinearaj funkcioj (integralaj simetriaj matricoj).

Ĉe "duoj ene", duvariablaj kvadrataj formoj estas de formo $ax^{2}+2bxy+cy^{2}$, prezentitaj per la simetriaj matricoj ${\begin{pmatrix}a&b\\b&c\end{pmatrix}}$.

Ĉe "duoj ekstere", duvariablaj kvadrataj formoj estas de formo $ax^{2}+bxy+cy^{2}$, prezentitaj per la simetriaj matricoj ${\begin{pmatrix}a&b/2\\b/2&c\end{pmatrix}}$.

Estas kelkaj de tio ke la duoj ekstere estas adoptita kiel la norma konvencio, inter ili:

• pli bona kompreno de la 2-adic teorio de kvadrataj formoj, la 'loka' fonto de la malfacilaĵo;
• la krada punkto de vido, kiu estis ĝenerale adoptita en aritmetiko de kvadrata formoj dum la 1950-aj jaroj;
• la bezonoj de teorio de integralaj kvadrataj formoj en topologio por intersekca teorio;
• la aspektoj de grupo de Lie kaj algebraj grupoj.

Universala kvadrata formo

Kvadrata formo prezentantaj ĉiujn pozitivajn entjerojn estas iam nomita kiel universala.

La kvar-kvadrata teoremo de Lagrange montras ke $w^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}$ estas universala.

La teoremoj de 15 kaj 290 plene karakterizas universalajn integralajn kvadratajn formojn: se ĉiuj koeficientoj estas entjeroj, tiam ĝi prezentas ĉiuj pozitivaj entjeroj se kaj nur se ĝi prezentas ĉiuj entjeroj supren ĝis 290; se ĝi havas entjeran matrico, ĝi prezentas ĉiuj pozitivaj entjeroj se kaj nur se ĝi prezentas ĉiujn entjerojn supren ĝis 15.

Uzo

Kvadrataj formoj estas gravaj en matematiko, okazanta en nombroteorio, rimana geometrio (kiel kurbeco), kaj teorio de Lie.

Ili estadas ankaŭ en fiziko kaj kemio, kiel la energio de sistemo, aparte en rilato al la L² normo, kiu kondukas al la uzo de hilbertaj spacoj.

Ekzemple, la distanco inter du punktoj en tri-dimensia eŭklida spaco estas trovata per preno de la kvadrata radiko de kvadrata formo engaĝante ses variablojn, kiuj estas la tri koordinatoj de ĉiu el la du punktoj.

Kvadrata formo de 2 variabloj estas iam nomata kiel duuma kvadrata formo, kaj ĉi tiaj formoj estas multestudataj en nombroteorio (aparte en la teorio de modulaj formoj), kaj ankaŭ iliaj asociitaj kvadrataj kampoj.

Historio

La studo de apartaj kvadrataj formoj, aparte de demando ĉu donita entjero povas esti valoro de kvadrata formo super entjeroj, komenciĝis antaŭ multaj jarcentoj. Unu ĉi tia okazo estas teoremo de Fermat pri sumoj de du kvadratoj, kiu difinas kiam entjero povas esti esprimita en la formo x²+y² kie x kaj y estas entjeroj. Ĉi tiu problemo estas rilatanta al la problemo de trovado de pitagoraj triopoj.

En 628, la hinda matematikisto Brahmagupta skribis Brahmasphutasiddhanta kiu inkluzivas, inter multaj aliaj aĵoj, studon de ekvacioj de formo x²-ny² = c. Aparte estis konsiderita tio kio estas nun nomata kiel ekvacio Pell, x²-ny² = 1, kaj trovita maniero ĝin solvi. En Eŭropo ĉi tiu problemo estis studita de William Brouncker, Eŭlero kaj Joseph-Louis de Lagrange.

En 1801 Carl Friedrich Gauss publikigis Disquisitiones Arithmeticae, grava porcio de kiu estis pri teorio de duvariablaj kvadrataj formoj super entjeroj. Ekde tiam, la koncepto estis ĝeneraligita, kaj la ligoj kun kvadrataj nombraj kampoj, la modula grupo, kaj aliaj areoj de matematiko estas plu ellaborita.

Vidu ankaŭ

• Seskvilineara formo
• Dulineara funkcio
• Pozitive difinita matrico
• Diskriminanto
• Leĝo de inercio de Sylvester
• Kvadriko
• Kvadrata formo (statistiko)

Eksteraj ligiloj

• Kvadrata formo
• Duvariabla kvadrata formo