La modelo de Debye estas modelo de solido far Peter Debye en 1912. Ĝi modelas la kontribuaĵojn de fononoj en solido al la propraĵoj de la solido. Ĝi estas akurata ĉe aŭ altegaj aŭ malaltegaj temperaturoj, sed ne estas akurata ĉe mezaj temperaturoj.
Konsideru solidan kubon kun eĝo
L
{\displaystyle L}
. Ĝi havas sonajn modojn etiketitajn per tri entjerojn
n
x
,
n
y
,
n
z
{\displaystyle n_{x},n_{y},n_{z}}
tia ke la ondolongo laŭ la
x
{\displaystyle x}
-direkto estas
λ
x
=
2
L
/
n
x
{\displaystyle \lambda _{x}=2L/n_{x}}
kaj simile por
y
{\displaystyle y}
kaj
z
{\displaystyle z}
.
Ni supozu konstantan rapidon de sono
v
{\displaystyle v}
ĝis ia maksimuma frekvenco. (Tiu postulo ne estas ĝusta por fononoj kun grandegaj frekvencoj.)
Do la energio de la
(
n
x
,
n
y
,
n
z
)
{\displaystyle (n_{x},n_{y},n_{z})}
-fonono estas
E
=
h
v
2
L
n
x
2
+
n
y
2
+
n
z
2
=
h
v
2
L
‖
n
‖
{\displaystyle E={\frac {hv}{2L}}{\sqrt {n_{x}^{2}+n_{y}^{2}+n_{z}^{2}}}={\frac {hv}{2L}}\lVert \mathbf {n} \rVert }
.
Fononoj estas bosonoj : ili sekvas la statistikon de Bose-Einstein
N
(
E
)
=
3
/
(
exp
(
E
/
k
T
)
−
1
)
{\displaystyle N(E)=3/(\exp(E/kT)-1)}
kie la faktoro 3 nombras la elektojn de polarizoj : unu longitudan, du transversajn.
Do la tuta energio
U
(
T
)
{\displaystyle U(T)}
de aro de fononoj ĉe temperaturo
T
{\displaystyle T}
estas
U
(
T
)
=
3
∑
n
‖
n
‖
≤
n
max
‖
n
‖
h
v
/
2
L
exp
(
‖
n
‖
h
v
/
2
L
k
T
)
−
1
{\displaystyle U(T)=3\sum _{\mathbf {n} }^{\lVert \mathbf {n} \rVert \leq n_{\max }}{\frac {\lVert \mathbf {n} \rVert hv/2L}{\exp(\lVert \mathbf {n} \rVert hv/2LkT)-1}}}
kie
n
max
{\displaystyle n_{\max }}
priskribas la maksimuman frekvencon de sono. Ni uzas proksimumadon per anstataŭigi sumon per integralo:
U
=
3
∫
n
x
,
n
y
,
n
z
>
0
‖
n
‖
≤
n
max
d
3
n
‖
n
‖
h
v
/
2
L
exp
(
‖
n
‖
h
v
/
2
L
k
T
)
−
1
=
3
8
∫
‖
n
‖
≤
n
max
d
3
n
‖
n
‖
h
v
/
2
L
exp
(
‖
n
‖
h
v
/
2
L
k
T
)
−
1
{\displaystyle U=3\int _{n_{x},n_{y},n_{z}>0}^{\lVert \mathbf {n} \rVert \leq n_{\max }}\operatorname {d} ^{3}\!\mathbf {n} \;{\frac {\lVert \mathbf {n} \rVert hv/2L}{\exp(\lVert \mathbf {n} \rVert hv/2LkT)-1}}={\frac {3}{8}}\int _{\lVert \mathbf {n} \rVert \leq n_{\max }}\operatorname {d} ^{3}\!\mathbf {n} \;{\frac {\lVert \mathbf {n} \rVert hv/2L}{\exp(\lVert \mathbf {n} \rVert hv/2LkT)-1}}}
.
Ansataŭigu
‖
n
‖
h
v
/
2
L
k
T
↦
x
{\displaystyle \lVert \mathbf {n} \rVert hv/2LkT\mapsto x}
kaj difinu la temperaturon de Debye
T
D
=
n
max
h
v
/
2
L
k
{\displaystyle T_{\mathrm {D} }=n_{\max }hv/2Lk}
:
U
(
T
)
=
3
8
k
T
n
max
3
(
T
/
T
D
)
3
⋅
4
π
∫
0
T
D
/
T
r
3
exp
r
−
1
=
π
2
k
T
n
max
3
D
3
(
T
D
/
T
)
{\displaystyle U(T)={\frac {3}{8}}kTn_{\max }^{3}(T/T_{\mathrm {D} })^{3}\cdot 4\pi \int _{0}^{T_{D}/T}{\frac {r^{3}}{\exp r-1}}={\frac {\pi }{2}}kTn_{\max }^{3}D_{3}(T_{\mathrm {D} }/T)}
kie
D
3
{\displaystyle D_{3}}
estas la tria funkcio de Debye .
Fine, ni observu ke la tuta volumeno de la
n
{\displaystyle \mathbf {n} }
-spaco egalu la nombron
N
{\displaystyle N}
de partikloj:
1
8
⋅
4
3
π
n
max
3
=
N
{\displaystyle {\frac {1}{8}}\cdot {\frac {4}{3}}\pi n_{\max }^{3}=N}
.
Do
U
(
T
)
/
N
=
3
k
T
D
3
(
T
D
/
T
)
{\displaystyle U(T)/N=3kTD_{3}(T_{\mathrm {D} }/T)}
.
La sendimensia varmokapacito
C
V
/
N
k
{\displaystyle C_{V}/Nk}
estas
C
V
/
N
k
=
1
N
k
d
U
d
T
=
3
(
4
D
3
(
T
D
/
T
)
−
3
T
D
/
T
exp
(
T
D
/
T
)
−
1
)
.
{\displaystyle C_{V}/Nk={\frac {1}{Nk}}{\frac {\operatorname {d} U}{\operatorname {d} T}}=3\left(4D_{3}(T_{\mathrm {D} }/T)-{\frac {3T_{\mathrm {D} }/T}{\exp(T_{\mathrm {D} }/T)-1}}\right).}
Ĉe temperaturo
T
≪
T
D
{\displaystyle T\ll T_{\mathrm {D} }}
,
C
V
/
N
k
≈
12
π
4
5
(
T
/
T
D
)
3
{\displaystyle C_{V}/Nk\approx {\frac {12\pi ^{4}}{5}}(T/T_{\mathrm {D} })^{3}}
.
Ĉe temperaturo
T
≫
T
D
{\displaystyle T\gg T_{\mathrm {D} }}
,
C
V
/
N
k
≈
3
{\displaystyle C_{V}/Nk\approx 3}
.
(Tiu ĉi estas la leĝo de Dulong–Petit .)
Funkcioj de Debye
redakti
Tabelo de Temperaturoj de Debye de realaj solidoj
redakti
CRC Handbook of Chemistry and Physics , 56a eld. (1975–1976)
Schroeder, Daniel V. An Introduction to Thermal Physics . San Francisco: Addison-Wesley, 2000. §7.5.
Kittel, Charles. Introduction to Solid State Physics (7a eld.). John Wiley & Sons, 1996. ISBN 0-471-11181.
Weisstein, Eric W. "Debye function" , MathWorld .