Kurba integralo

Ĉi tiu artikolo estas pri "vojaj integraloj" en la ĝenerala matematika (senso, senco), kaj ne la voja integrala formulaĵo de fiziko kiu estis studita per Richard Feynman.

En matematiko, voja integralo (ankaŭ sciata kiel linia integralo) estas integralo kie la funkcio al esti integralita estas (komputita, pritaksita) laŭ vojo aŭ kurbo. Diversaj malsamaj vojaj integraloj estas en uzi. Ĉe fermita voja ĝi estas ankaŭ (nomita, vokis) kontura integralo.

Kompleksa analitiko

La voja integralo estas fundamenta ilo en kompleksa analitiko. Supozi U estas (malfermi, malfermita) subaro de C, γ : [a, b] → U estas rektifebla kurbo kaj f : U → C estas funkcio. Tiam la voja integralo

$\int _{\gamma }f(z)\,dz$

(majo, povas) esti difinita per subdividanta la intervalo [a, b] enen a = t₀ < t₁ < ... < t_n = b kaj konsideranta la esprimo

$\sum _{1\leq k\leq n}f(\gamma (t_{k}))(\gamma (t_{k})-\gamma (t_{k-1})).$

La integralo estas tiam la limigo de ĉi tiu (sumo, sumi), kiel la (longoj, longas) de la subdivido (intervaloj, intervalas) (maniero, proksimiĝi, proksimiĝo) nulo.

Se γ estas kontinue diferencialebla kurbo, la voja integralo povas esti (komputita, pritaksita) kiel integralo de funkcio de (reala, reela) (variablo, varianta):

$\int _{\gamma }f(z)\,dz=\int _{a}^{b}f(\gamma (t))\,\gamma \,'(t)\,dt.$

Kiam γ estas (fermita, fermis) kurbo, tio estas, ĝia komenca kaj finaj punktoj koincidi, la (notacio, skribmaniero)

$\oint _{\gamma }f(z)\,dz$

estas ofte uzita por la voja integralo de f laŭ γ.

Grava (propozicioj, frazoj, ordonoj) pri vojaj integraloj estas la Koŝia integrala teoremo kaj Koŝia integrala formulo.

Pro la _residue_ teoremo, unu povas ofte uzi konturaj integraloj en la kompleksa ebeno al trovi integraloj de (reala, reela)-valoraj funkcioj de (reala, reela) (variablo, varianta) (vidi _residue_ teoremo por ekzemplo).

Ekzemplo

Konsideri la funkcio f(z)=1/z, kaj estu la konturo C esti la unuobla cirklo pri 0, kiu povas esti parametrigita per e^mit, kun t en [0, 2π]. Anstataŭiganta, ni trovi

$\oint _{C}f(z)\,dz=\int _{0}^{2\pi }{1 \over e^{it}}ie^{it}\,dt=i\int _{0}^{2\pi }e^{-it}e^{it}\,dt$

$=i\int _{0}^{2\pi }\,dt=i(2\pi -0)=2\pi i$

kiu povas esti ankaŭ kontrolis per la Koŝia integrala formulo.

Vektora kalkulo

En kvalteca (termoj, kondiĉoj, terminoj, termas, terminas), voja integralo en vektora kalkulo povas esti penso de kiel mezuri de la efiki de donita vektora kampo laŭ donita kurbo.

Difino

Por iu skalara kampo f : Rⁿ → R, la vojo (aŭ linio) integralo sur kurbo C, parametrigita kiel r(t) kun t ∈ [a, b], estas difinita per

$\int _{C}f\ ds=\int _{a}^{b}f(\mathbf {r} (t))|\mathbf {r} '(t)|\,dt.$

Simile, por vektora kampo F : Rⁿ → Rⁿ, la voja integralo sur kurbo C, parametrigita kiel r(t) kun t ∈ [a, b], estas difinita per

$\int _{C}\mathbf {F} (\mathbf {x} )\cdot \,d\mathbf {x} =\int _{a}^{b}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)\,dt.$

Voja sendependeco

Se vektora kampo F estas la gradiento de skalara kampo G, tio estas,

$\nabla G=\mathbf {F} ,$

tiam la derivaĵo de la komponaĵo de G kaj r(t) estas

${\frac {dG(\mathbf {r} (t))}{dt}}=\nabla G(\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)=\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)$

kiu okazas al esti la integralato por la voja integralo de F sur r(t). Ĝi sekvas (tiu, ke, kiu), donita vojo C , tiam

$\int _{C}\mathbf {F} (\mathbf {x} )\cdot \,d\mathbf {x} =\int _{a}^{b}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)\,dt=\int _{a}^{b}{\frac {dG(\mathbf {r} (t))}{dt}}\,dt=G(\mathbf {r} (b))-G(\mathbf {r} (a)).$

En (vortoj, vortas), la integralo de F super C dependas nure sur la (valoroj, valoras) de la punktoj r(b) kaj r(a) kaj estas tial sendependa de la vojo inter ilin.

Por ĉi tiu kaŭzo, vektora kampo kiu estas la gradiento de skalara kampo estas (nomita, vokis) vojo sendependa.

Aplikoj

La voja integralo havas multaj uzas en fiziko. Ekzemple, la laboro farita sur partiklo vojaĝanta sur kurbo C ene forta kampo (prezentita, prezentis) kiel vektora kampo F estas la voja integralo de F sur C.

Interrilato kun la voja integralo en kompleksa analitiko

Vidantaj kompleksaj nombroj kiel 2D (vektoroj, vektoras), la voja integralo en 2D de vektora kampo korespondas al la reela parto de la voja integralo de la konjugita de la (korespondanta, respektiva) kompleksa funkcio de komplekso (variablo, varianta).

Pro al la Koŝio-Rimanaj ekvacioj la kirlo de la vektora kampo (korespondanta, respektiva) al la konjugita de holomorfa funkcio estas nulo. Ĉi tiu (rilatas, rakontas) tra Hejtas teoremo ambaŭ (klavas, tipoj) de voja integralo estante nulo.

Kvantummekaniko

La "voja integrala formulaĵo" de kvantummekaniko reale (ligas, referas) ne al vojaj integraloj en ĉi tiu (senso, senco) sed al (funkcionalo, funkcia) integraloj, tio estas, integraloj super spaco de vojoj, de funkcio <_em_>de</_em_> ebla vojo. Tamen, vojaj integraloj en la (senso, senco) de ĉi tiu artikolo estas grava en kvantummekaniko; ekzemple, kompleksa kontura integralado estas ofte uzita en (komputanta, pritaksanta) probablo (argumentoj, argumentas, polusaj anguloj, amplitudoj, amplitudas) en kvantumo (verŝado, verŝanta) teorio.

Vidi ankaŭ

• Manieroj de kontura integralado
• _Nachbin_'s teoremo
• Surfaca integralo
• Volumena integralo
• Hejtas' teoremo
• Funkcionala integralado

Ekstera (ligoj, ligas)

• Solvis (problemoj, problemas) sur vojaj integraloj