Kategorio (matematiko)

matematika strukturo

Je matematiko, kategorio estas formaligo de ia simpla universo de matematikaj entoj. Kategorio konsistas el objektoj kaj morfioj inter la objektoj; en kategorio, la morfioj estas asocie komponeblaj, se la argumentaroj kaj celaroj kongruas; kaj idento de komponado ekzistas.

DifinoRedakti

Kategorio   konsistas el la ĉi-suba dateno:

  • klaso  , kies elementoj nomiĝas la objektoj de la kategorio.
  • klaso  , kies elementoj nomiĝas la morfioj de la kategorio.
  • bildigo  . Pri morfio  , la objekto   nomiĝas la argumentaro de la morfio, kaj la objekto   nomiĝas la celaro de la morfio. Pri objektoj  , oni uzas la notacion  , la morfiaro inter   kaj  . Oni ankaŭ uzas la notacion   por montri ke   kaj  .
  • bildigo  . Pri objekto  , la morfio   nomiĝas la identa morfio de la objekto.
  • Pri ajna triopo de objektoj  , bildigo  . Pri morfioj   kaj  , la morfio   nomiĝas la komponaĵo de la du morfioj.

La ĉi-supra dateno devas plenumi la ĉi-subajn aksiomojn:

  • (Asocieco) Morfioj komponiĝas asocie. Alivorte, pri ajnaj objektoj   kaj ajnaj morfioj  ,  , kaj  ,  .
  • (Idento) La identa morfio estas la idento de komponado. Alivorte, pri ajnaj objektoj   kaj ajna morfio  , do  .

En la ordinara aroteoria formaligo (aksiomoj de Zermelo-Fraenkel) de matematiko, la ĉi-supra difino de la koncepto de kategorioj estas neformala, ĉar la koncepto de klasoj estas neformala. Se oni postulas ke la klasoj de objektoj kaj morfioj estas fakte aroj, do la rezultaj koncepto nomiĝas malgranda kategorio. Tamen, en formaligoj kiuj priskribas klasojn (ekz. la aksiomoj de von Neumann–Bernays–Gödel), la klasoj estas rekte formaligeblaj.

EkzemplojRedakti

Ekzistas multegaj ekzemploj de kategorioj:

Eksteraj ligilojRedakti