Prima elemento

En ringo-teorio, prima elemento estas tia nenula elemento de komuta ringo ke, se ĝi dividas produton de pluraj elementoj, do ĝi dividas almenaŭ unu el tiuj.

Difino

Pri nenula elemento $r\in R$ de komuta ringo $R$ la jenaj kondiĉoj estas ekvivalentaj, kaj elemento plenumanta ilin estas prima:

• Ĝi ne estas inversigebla elemento, kaj pri ajnaj j$a,b,c\in R$, se $ab=cr$, do ekzistas $d\in R$, tia ke $dr\in \{a,b\}$.
• Pri nenegativa entjero $n$ kaj elementoj $a_{1},a_{2},\dotsc ,a_{n}$, se $p$ dividas la produton $a_{1}a_{2}\dotsm a_{n}$, do ekzistas $i\in \{1,\dotsc ,n\}$ tia ke $p$ dividas $a_{i}$.
  • Speciale, se $n=0$, do se $p$ dividus 1 (t.e. estus inversigebla elemento), do ekzistus $i\in \varnothing$, sed tio ne eblas; tial, $p$ ne estas inversigebla elemento.
• La ĉefidealo $(p)$ estas prima idealo.
• La kvocienta ringo $R/(p)$ estas integreca ringo.

Ecoj

En integreca ringo, ĉiu prima elemento estas nemalkomponebla elemento, sed povas ekzisti nemalkomponebla elemento, kiu ne estas prima.

Tamen, en faktoreca ringo, ĉiu nemalkomponebla elemento estas prima elemento.

Ekzemploj

En la ringo de entjeroj $\mathbb {Z}$, la primaj elementoj estas $\pm p$, en kiu $p$ estas primo.

Eksteraj ligiloj

• Eric W. Weisstein, Prime element en MathWorld.