Integralo

Integralo estas unu el la ĉefaj konceptoj de kalkulo. Ĝi estas la areo inter la grafikaĵo de funkcio kaj la x-akso.

Difinita integralo $\int _{a}^{b}f(x)\,dx$ estas la areo S sub la kurbo

Kio estas la integralo F de la funkcio f laŭ la valoro x.

Integrigaj kaj diferencigaj operacioj estas inversaj unu al la alia (animacio en la ekzemplo de linia funkcio)

Difinita integralo estas la mezuro de la areo limigita de la grafikaĵo, la x-akso kaj la du limoj de la difinita integralo. Oni do ĉiam devas skribi la limojn de integralo. La kutima skribmaniero por integralo de la funkcio $f(x)$ kun la limoj $a$ kaj $b$ estas

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx.$

Nedifinita integralo estas integralo, kies limoj ne estas specifitaj.

$\int f(x)\,dx.$

Integralo kun variabla supra limo estas funkcio, kies valoro ĉe la punkto x ĉiam estas la valoro de

$\int _{a}^{x}f(x)\,dx$

kie a estas konstanto sendependa de x.

Integralo kun variabla suba limo estas funkcio, kies valoro ĉe la punkto x ĉiam estas la valoro de

$\int _{x}^{a}f(x)\,dx$

kie a estas konstanto sendependa de x.

Malpropra integralo estas integralo, kiu havas senfinan limo-supron . Tiaj integraloj eblas estimi kiel limeso-integralo:

$\lim _{x\to \inf }\int _{x}^{a}f(x)\,dx$

Integralo estas la inverso de derivaĵo, kiel diras la Fundamenta teoremo de kalkulo. Tio signifas ke se oni kalkulas la derivaĵon de integralo, la rezulto estos la komenca funkcio.

Tiel, se $g(x)$ estas malderivaĵo de $f(x)$, do ankaŭ $g(x)+C$ estas malderivaĵo de $f(x)$ por ĉiu konstanto $C$ sendependa de $x$. Tiel malderivaĵo estas fakte ne unu funkcio sed aro de funkcioj, diferenciĝantaj per aldono de konstanto. Ekzemple

$\int x\,dx={\frac {x^{2}}{2}}+C$

Skribo

Kodo de la integrala signo ∫ estas deksesuma «222B» en unikodo, en HTML ĝi povas esti skribata kiel «∫».

• 
• 
• 

Kalkuli integralojn

Ekzistas pliajn manierojn kalkuli integralojn, por ekzemplo, la Sumo de Riemann, kiu estas bazita en la kreado de Bernhard Riemann.

Vidu ankaŭ

• Fundamenta teoremo de kalkulo
• Malderivaĵo
• Listoj de integraloj
• Obla integralo
• Kurba integralo
• Rimana integralo
• Surfaca integralo
• Volumena integralo
• Integralo (ekzemploj)
• Infinitezima kalkulo, Analitiko
• Absoluta konverĝo
• Serio (matematiko)
• Integralo de Euler

Eksteraj ligiloj

• http://integrals.wolfram.com
• http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Calculus/RiemannSums.shtml
• http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Calculus/CubicSpline.shtml
• http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi?module=tool/analysis/function.en