Kerno (teorio de kategorioj)

En teorio de kategorioj kaj ties aplikoj al aliaj branĉoj de matematiko, kernoj estas ĝeneraligo de la kernoj de grupaj homomorfioj kaj la kernoj de modulo-homomorfioj kaj certaj aliaj kernoj de algebro. Intuicie, la kerno de la strukturkonservanta transformo f : X → Y estas la "plej ĝenerala" strukturkonservanta transformo k : K → X kiu, kiam komponita kun f, rendonas nulon.

Notu, ke kerno-paroj kaj diferenco-kernoj (alinome duumaj egaligiloj) iam estis juĝitaj laŭ la nomo "kerno"; dum rilatantaj, ĉi tiuj ne estas sufiĉe la sama afero kaj estas ne diskutita en ĉi tiu artikolo.

Difino

Estu C kategorio. Por difini kernon en la ĝenerala kategorio-teoria senco, C devas havi nulajn strukturkonservantajn transformojn. En tiu kazo, se f: X → Y estas ajna strukturkonservanta transformo en C, tiam kerno de f estas egaligilo de f kaj la nula strukturkonservanta transformo de X al Y. En simboloj:

ker(f) = eq(f, 0_XY)

Por esti pli eksplicita, jena universala propreco povas esti uzata. Kerno de f estas iu ajn strukturkonservanta transformo k : K → X tia, ke:

• f o k estas la nula strukturkonservanta transformo de K al Y;

• Por donita iu ajn strukturkonservanta transformo k′ : K′ → X tia, ke f o k′ estas la nula strukturkonservanta transformo, estas unika strukturkonservanta transformo u : K′ → K tia, ke k o u = k′.

Notu, ke en multaj konkretaj ĉirkaŭtekstoj, oni devus nomi la objekton K kiel la "kerno", anstataŭ la strukturkonservanta transformo k. En tiuj situacioj, K devus esti subaro de X, kaj tiu devus esti sufiĉa por rekonstrui k kiel inkluziveca surĵeto; en la nekonkreta okazo, kontraste, oni bezonas la strukturkonservantan transformon k por priskribi kiel K devas esti interpretita kiel subobjekto de X. Ĉiukaze, oni povas montri, ke k estas ĉiam _monomorphism_ (en la kategoria senco de la vorto). Oni povas preferi konsideri la kernon kiel la paron (K, k) anstataŭ kiel simple K aŭ k sola.

Ne ĉiu strukturkonservanta transformo bezone havas kernon, sed se ĝi havas, tiam ĉiuj ĝiaj kernoj estas izomorfiaj en forta senco: se k : K → X kaj l : L → X estas kernoj de f : X → Y, tiam ekzistas unika izomorfio Φ : K → L tia ke l o Φ = k.

Ekzemploj

Kernoj estas konataj en multaj kategorioj de abstrakta algebro, kiel la kategorio de grupoj aŭ la kategorio de restaĵaj moduloj super fiksita ringo (inkluzivante vektorajn spacojn super invarianta korpo). Eksplicite, se f : X → Y estas homomorfio en unu el ĉi tiuj kategorioj, kaj K estas ĝia kerno en la kutima algebra senco, tiam K estas subalgebro de X kaj la inkluziveca homomorfio de K al X estas kerno en la kategoria senco.

Notu, ke en la kategorio de monoidoj, kategorio-teoriaj kernoj ekzistas nur kiel por grupoj, sed ĉi tiuj kernoj ne portas sufiĉan informon por algebraj celoj. Pro tio, la nocio de kerno studita en monoida teorio estas malmulte malsama. Male, en la kategorio de ringoj, ne estas kernoj en la kategorio-teoria senco; ja, ĉi tiu kategorio eĉ ne havas nulajn strukturkonservantajn transformojn. Tamen, estas ankoraŭ nocio de kerno studita en ringa teorio. Vidu la ĉapitron interrilato al algebraj kernoj pli sube por la rezolucio de ĉi tiu paradokso.

Estas multo da algebraj ekzemploj; nun oni devus doni ekzemplojn de kernoj en kategorioj de topologio kaj funkcionala analitiko.

Rilato al aliaj kategoriaj konceptoj

La duala koncepto al tiu de kerno estas kunnukleo. Tio estas, la kerno de strukturkonservanta transformo estas ĝia kunnukleo en la kontraŭa kategorio, kaj reen.

Kiel menciite pli supre, kerno estas tipo de duuma egaligilo, aŭ diferenca kerno. Male, en antaŭadicieca kategorio, ĉiu duuma egaligilo povas esti konstruita kiel kerno. Por esti specifa, la egaligilo de la strukturkonservantaj transformoj f kaj g estas la kerno de la diferenco g − f. En simboloj:

eq (f, g) = ker (g-f)

Estas pro ĉi tiu fakto, ke duumaj egaligiloj estas nomitaj kiel "diferenco-kernoj", eĉ en ne-antaŭadiciecaj kategorioj kie strukturkonservantaj transformoj ne povas esti subtrahitaj.

Ĉiu kerno, kiel iu ajn alia egaligilo, estas _monomorphism_. Male, _monomorphism_ estas nomata kiel normala se ĝi estas la kerno de iu strukturkonservanta transformo. Kategorio estas nomita normala se ĉiu _monomorphism_ estas normala.

Abelaj kategorioj, aparte, estas ĉiam normalaj. En ĉi tiu situacio, la kerno de la kunnukleo de iu ajn strukturkonservanta transformo (kiu ĉiam ekzistas en abela kategorio) estas la bildo de tiu strukturkonservanta transformo; en simboloj:

im(f) = ker(coker(f)) (en abela kategorio)

Kiam m estas _monomorphism_, ĝi devas esti sia propra bildo; tial, ne nur estas abelaj kategorioj normalaj, tiel ke ĉiu _monomorphism_ estas kerno, sed oni ankaŭ scias de kiu strukturkonservanta transformo la _monomorphism_ estas kerno, al sprito, ĝia kunnukleo. En simboloj:

m = ker(coker(m)) (por _monomorphisms_ en abela kategorio)

Interrilato al algebraj kernoj

Universala algebro difinas nocion de kerno por homomorfioj inter du algebraj strukturoj de la sama speco. Ĉi tiu koncepto de kerno mezuras kiel malproksima la donita homomorfio estas de estado disĵeta. Estas iu parte kovro inter ĉi tiu algebra nocio kaj la kategoria nocio de kerno ĉar ambaŭ ĝeneraligas la situacion de grupoj kaj moduloj menciitaj pli supre. Ĝenerale, tamen, la universala algebra nocio de kerno estas pli ol la kategorio-teoria koncepto de kerna paro. Aparte, kerno-paroj povas kutime interpreti kernojn en monoida teorio aŭ ringa teorio en kategorio-teoriaj termoj.