Malfinia dekliva pluredro

En geometrio, malfinia dekliva pluredro estas etendita nocio de pluredroj, kreita el plurlateraj edroj kun neebenaj verticaj figuroj.

Ĉi tie estas konsiderataj malfiniaj deklivaj pluredroj kun regulaj plurlateraj kiel edroj.

Multaj el ili estas rekte rilatantaj al konveksaj uniformaj kahelaroj de eŭklida 3-spaco, estante la plurlateraj surfacoj de la kahelaro kun parto de la ĉeloj forprenitaj. Ĉi tiaj solidoj estas nomataj kiel partaj kahelaroj.

Ĉi tiuj pluredroj estas similaj al kahelaroj de hiperbola spaco, ĉar havas negativajn angulajn difektojn. Ili estas ekzemploj de la pli ĝenerala klaso de malfiniaj pluredroj, aŭ malfinioedroj

Regulaj deklivaj pluredroj

Laŭ H.S.M. Coxeter, en 1926 John Flinders Petrie ĝeneraligis la koncepton de regulaj deklivaj plurlateroj (neebenaj plurlateroj) al regulaj deklivaj pluredroj.

Coxeter ofertis modifitan simbolo de Schläfli {l,m|n} por ĉi tiuj figuroj, kun {l,m} implicanta la vertican figuron kun m l-lateroj ĉirkaŭ vertico, kaj n-lateraj truoj. Iliaj verticaj figuroj estas deklivaj plurlateroj, zigzagaj inter du ebenoj.

La regulaj deklivaj pluredroj, prezentataj per {l,m|n}, verigas ĉi tiun ekvacion:

• 2*sin(π/l)*sin(π/m)=cos(π/n)

Estas 3 regulaj deklivaj pluredroj, la unua kaj la dua estas inter si dualaj pluredroj:

• {4,6|4}: 6 kvadratoj ĉirkaŭ ĉiu vertico. Rilatantas al kuba kahelaro, konstruita el kubaj ĉeloj. Forprenantaj estas du kontraŭaj edroj de kuboj, kaj estas ligitaj kune aroj de ses kuboj ĉirkaŭ tute senedrigitaj kuboj.
• {6,4|4}: 4 seslateroj ĉirkaŭ ĉiu vertico. Rilatantas al dutranĉita kuba kahelaro, konstruita el senpintigitaj okedroj. Iliaj kvadrataj edroj estas forprenitaj kaj paroj de truoj estas ligitaj kune.
• {6,6|3}: 6 seslateroj ĉirkaŭ ĉiu vertico. Rilatantas al kvarona kuba kahelaro, konstruita el senpintigitaj kvaredraj ĉeloj. Estas forprenitaj triangulaj edroj.

Ankaŭ solvaĵoj al la ekvacio pli supre estas la eŭklidaj regulaj kahelaroj {3,6}, {6,3}, {4,4}, prezentataj kiel {3,6|6}, {6,3|6}, kaj {4,4|∞}.

Jen iuj partaj prezentoj, vertikalaj projekcioj de iliaj deklivaj verticaj figuroj, kaj partaj respektivaj uniformaj kahelaroj.

Parta pluredro	Vertica figuro	Parta respektiva konveksa uniforma kahelaro de eŭklida 3-spaco
{4,6|4}	{4,6}	Kuba kahelaro t0{4,3,4}
{6,4|4}	{6,4}	Dutranĉita kuba kahelaro t1,2{4,3,4}
{6,6|3}	{6,6}	Kvarona kuba kahelaro t0,1[P4]

Prismaj regulaj deklivaj pluredroj

Prisma formo {4,5}

Estas ankoraŭ du regulaj prismaj formoj, iam ne konsiderataj kiel tute regulaj ĉar ili havas najbarajn samebenajn edrojn.

• {4,5}: 5 kvadratoj ĉirkaŭ ĉiu vertico (Du paralelaj kvadrataj kahelaroj koneksa per kubaj truoj.)
• {3,8}: 8 trianguloj ĉirkaŭ ĉiu vertico (Du paralelaj triangulaj kahelaroj koneksa per okedraj truoj.)

32 regulaj deklivaj pluredroj ekzistas en hiperbola 3-spaco, derivitaj de la 4 regulaj hiperbolaj kahelaroj (vidu en listo de regulaj hiperpluredroj).

Pseŭdopluredroj

J. Richard Gott en 1967 publikigis pli grandan aron de sep regulaj pseŭdopluredroj, inkluzivante la tri tiujn de Coxeter, la du aĵoj kun du paralelaj ebenoj {3,8}, {4,5}, kaj du novajn {3,10}, {5,5}.

Gott nomis la plenan aron de regulaj pluredroj, regulaj kahelaroj, kaj regulaj pseŭdopluredroj kiel regulaj ĝeneraligitaj pluredroj, prezenteblaj per simbolo de Schläfli {p,q}, kun p-lateraj edroj, q ĉirkaŭ ĉiu vertico.

{3,10} estas ankaŭ formita el paralelaj ebenoj de triangulaj kahelaroj, kun alternaj okedraj truoj irantaj je ambaŭ direktoj perpendikulare al la ebenoj.

{5,5} estas komponita el 3 samebenaj kvinlateroj ĉirkaŭ vertico kaj du perpendikularaj kvinlateroj enspacantaj la restan parton de la plena cirklo.

Li ankaŭ agnoskis la aliajn periodajn formojn de la regulaj ebenaj kahelaroj. Ambaŭ kvadrata kahelaro {4,4} kaj triangula kahelaro {3,6} povas esti volvitaj ĉirkaŭ aproksimantaj malfiniaj je longo cilindroj en 3-spaco.

Li skribis teoremojn:

• Por ĉiu regula pluredro {p,q}: (p-2)*(q-2)<4. Por ĉiu regula kahelaro: (p-2)*(q-2)=4. Por ĉiu regula pseŭdopluredro: (p-2)*(q-2)>4.
• La kvanto de edroj ĉirkaŭbarantaj donitan edron estas p*(q-2) en ĉiu regula ĝeneraligita pluredro.
• Ĉiu regula pseŭdopluredro aproksimas negative malrektan surfacon.
• La sep regulaj pseŭdopluredroj estas ripetantaj strukturoj.

A.F. Wells publikigis liston de pseŭdopluredroj en la 1960-aj, inkluzivante malsamajn formojn kun la samaj simboloj: {4,5}, {3,7}, {3,8}, {3,10}, {3,12}.

Duonregulaj pseŭdopluredroj

Estas multaj aliaj duonregulaj (vertico-transitivaj) deklivaj pluredroj. Iuj ekzemploj:

Prisma duonregula dekliva pluredro kun vertica konfiguro 4.4.4.6.

Duonregula dekliva pluredro kun vertica konfiguro 4.8.4.8. (parta), rilatanta al la entutotranĉita kuba kahelaro.

Duonregula dekliva pluredro kun vertica konfiguro 3.4.4.4.4. (parta), rilatanta al la edroverticotranĉita kuba kahelaro.

Referencoj

• H.S.M. Coxeter, Regular Polytopes - Regulaj Hiperpluredroj, Tria redakcio (1973), Dover edition, ISBN 0-486-61480-8
• Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter - Kalejdoskopoj: Elektitaj Skribadoj de H.S.M. Coxeter, redaktita de F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
  • (Papero 2) H.S.M. Coxeter, "The Regular Sponges, or Skew Polyhedra" - "La Regula Sponguloj aŭ Deklivaj Pluredroj", Scripta Mathematica 6 (1939) 240-244.
• H.S.M. Coxeter, The Beauty of Geometry: Twelve Essays - La Belo de Geometrio: Dek du Eseoj, Dover Publications, 1999, ISBN 0-486-40919-8 (Ĉapitro 5: Regulaj deklivaj pluredroj en tri kaj kvar dimensioj kaj ilia topologiaj analogoj)
  • H.S.M. Coxeter, Regular Skew Polyhedra in Three and Four Dimensions. - Regulaj peklivaj pluredroj en tri kaj kvar dimensioj.' Proc. London Math. Soc. 43, 33-62, 1937.
• Garner, C. W. L. Regular Skew Polyhedra in Hyperbolic Three-Space - Regulaj deklivaj pluredroj en hiperbola 3-spaco. Canad. J. Math. 19, 1179-1186, 1967.
• J. R. Gott, Pseudopolyhedrons - Pseŭdopluredroj, American Mathematical Monthly, Vol 74, p. 497-504, 1967.
• A. F. Wells, Three-Dimensional Nets and Polyhedra - Tri-dimensia retoj kaj pluredroj, Wiley, 1977.

Eksteraj ligiloj

• Eric W. Weisstein, Regula dekliva pluredro en MathWorld.
• Eric W. Weisstein, Kahelaro en MathWorld.
• George Olshevsky, Dekliva hiperpluredro en Glossary for Hyperspace.
• "Hiperbolaj" kahelaroj Arkivigite je 2015-03-18 per la retarkivo Wayback Machine
• Malfiniaj regulaj pluredroj [2] Arkivigite je 2016-03-12 per la retarkivo Wayback Machine
• Malfiniaj ripetantaj pluredroj - partaj kahelaroj en 3-spaco
• http://www.math.neu.edu/~schulte/symchapter.pdf Arkivigite je 2012-02-06 per la retarkivo Wayback Machine , ĉapitroj 18, 18.3
• Malfiniaj pluredroj de T.E. Dorozinski