Diskreta spaco

topologia spaco, kies ĉiu subaro estas kaj fermita kaj malfermita

En topologio, diskreta spaco[1] estas topologia spaco, kiu estas speciale triviala — kies ĉiu subaro estas kaj malfermita aro kaj fermita aro, ĉiu funkcio sur kiu estas kontinua bildigo. Iasence, la punktoj en diskreta spaco estas "disaj" aŭ "izolitaj".

DifinoRedakti

Sur aro  , la diskreta topologio estas la unika topologio, kiu plenumas la jenajn (ekvivalentajn) kondiĉojn:

Diskreta topologia spaco estas topologia spaco, kies topologio estas diskreta.

La diskreta spaco estas ankaŭ triviale metrika spaco kaj eĉ glata sternaĵo. Sur la aro  , difinu

 

Do, la ĉi-supra metriko difinas la diskretan topologion. La konstanto 1 estas arbitra; ajna pozitiva reelo estus same taŭga.

Sur la aro  , uzante la malfermitan kovraĵon de unuelementaj subaroj

 ,

difinu la trivialan atlason

 
 .

Do, la ĉi-supra atlaso igas la spacon   0-dimensia glata sternaĵo.

PropraĵojRedakti

La diskreta topologia spaco plenumas ĉiujn apartigajn aksiomojn; specife, ĉiu diskreta spaco estas Hausdorff-a spaco.

Diskreta spaco estas kompakta spaco se kaj nur se ĝi estas finia aro.

Bildigo

 ,

kies celaro   estas diskreta, estas kontinua se kaj nur se ĝi estas loke konstanta funkcio — t.e. ĉiu punkto   havas ĉirkaŭaĵon, sur kiu   estas konstanta bildigo.

Ĉiu 0-dimensia glata sternaĵo estas diskreta topologia spaco.

UzojRedakti

La diskreta topologio estas ofte uzata kiel la "implicita strukturo" sur aro, kiu ne portas iun ajn alian naturan topologion aŭ metrikon. Ekzemple, ĉiu grupo estas triviale topologia grupo, se oni donas al ĝi la diskretan topologion.

Malgraŭ ke diskretaj spacoj estas ne tre interesa per si mem, oni povas konstrui interesajn spacojn el ili. Ekzemple, produto de kalkuleble malfiniaj kopioj de la diskreta spaco de la entjeroj estas homeomorfa al la spaco de neracionalaj nombroj; la homeomorfio estas la ĉena frakcio. Simile, la produto de kalkuleble malfiniaj kopioj de la duelementa diskreta spaco {0,1} estas homeomorfa al la aro de Cantor.

ReferencojRedakti

  1. Nova Plena Ilustrita Vortaro de Esperanto: diskret/a “Tia, ke ĉiu punkto konsistigas malfermitan aron”

Vidu ankaŭRedakti