Normala distribuo

La normala distribuo, ankaŭ nomata Gaŭsa distribuo aŭ Gaŭs-kurbo, estas ege grava probablodistribuo en multaj kampoj. Ĝi estas familio de distribuoj de la sama ĝenerala formo, diferenciĝanta inter si per parametroj loko kaj krusto: la meznombro ("averaĝa") kaj varianca devio ("variebleco"), respektive. La norma normala distribuo estas la normala distribuo kun meznombro 0 kaj varianca devio 1 (la verdaj kurboj en la grafikaĵoj). Ĝi estas ofte nomata kiel la sonorila kurbo ĉar la grafikaĵo de ĝia probablodensa funkcio similas al sonorilo.

Normala distribuo

La probablodensa funkcio por kvar malsamaj parametroj - (verda linio - norma normala disribuo)
La tuteca distribua funkcio estas la integralo de la probablodensa funkcio - (la samaj koloroj)
Parametroj	$\mu$ (reela nombro) $\sigma ^{2}>0$ (reela nombro)
Argumentaro	$x\in (-\infty ;+\infty )\!$
Probablodensa funkcio	Gaŭsa funkcio ${\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\;\exp \left(-{\frac {\left(x-\mu \right)^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\!$
Tuteca distribua funkcio	${\frac {1}{2}}\left(1+\mathrm {erf} \,{\frac {x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)\!$
Meznombro	$\mu$
Mediano	$\mu$
Reĝimo	$\mu$
Varianco	$\sigma ^{2}$
Deklivo	0
Hazardemo	0
Entropio	$\ln \left(\sigma {\sqrt {2\,\pi \,e}}\right)\!$
Momanto-generanta funkcio	$M_{X}(t)=\exp \left(\mu \,t+{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}\right)$
Signo	$\phi _{X}(t)=\exp \left(\mu \,i\,t-{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}\right)$

La matematikaj formuloj estis priskribitaj de Carl Friedrich Gauss, germana matematikisto.

Ĝenerala priskribo

La normala distribuo estas oportuna modelo de kvantecaj fenomenoj en la naturaj sciencoj. Ĝi estas tre utila i.a. en statistika kvalito-kontrolo aŭ regado de kvalito.

Diversaj psikologiaj provoj adapti al orkestroj kaj fizikaj studoj al fotonoj havas fundamentojn kiuj proksimume sekvas normalan distribuon. Malgraŭ ke la suba sinteno de ĉi tiuj fenomenoj estas ofte nekonata, la uzo de la normala distribuo povas esti teorie pravigita en situaciojn, kie multaj malgrandegaj efikoj estas adiciitaj kune en punktoj aŭ variabloj, kiuj povas esti observitaj. Do la normala distribuo ankaŭ ekestas en multaj domajnoj de statistiko. Aldone, la normala distribuo maksimumigas informan entropion inter ĉiuj distribuoj kun sciataj meznombro kaj varianco . La normala distribuo estas la plej larĝe uzita el familioj de distribuoj en statistiko, kaj multaj statistikaj testoj estas bazitaj sur la supozo de normaleco. En probablo-teorio, normalaj distribuoj ekestas kiel la limigantaj distribuoj de kelkaj kontinuaj kaj diskretaj familioj de distribuoj.

Historio

La normala distribuo estis unue prezentita per de Moivre en artikolo de 1733 (represita laŭ la dua redakcio de lia Doktrino de ŝancoj, 1738) rilatanta al la alproksimiĝo de iaj binomjaj distribuoj por granda nombro n. La rezulto de tiu matematikisto estis etendita de Laplaco en lia libro Analitika Teorio de Probabloj (1812), kaj estas nun nomita la teoremo de Moivre-Laplace.

Laplaco uzis la normalan distribuon en la analitiko de eraroj de eksperimentoj. La grava metodo de plej malgrandaj kvadratoj estis prezentita de Legendre en 1805. Gaŭso pretendis ke li mem uzis tian metodon ekde 1794, kaj pravigis ĝin rigore en 1809 per alprenanta normala distribuo de la eraroj.

La nomo "sonorila kurbo" venas de Jouffret, kiu unua uzis la terminon "sonorila surfaco" en 1872 por multvariabla normala distribuo kun sendependaj komponantoj. La nomo "normala distribuo" estis nomita sendepende per Peirce, Galton kaj Lexis ĉirkaŭ 1875. La termino estis daŭre elektita per Pearson en 1905. Ĉi tiu terminologio estas bedaŭrinda, ĉar ĝi reflektas kaj kuraĝigas la perfidon kredigantan ke multaj aŭ ĉiuj aliaj probablodistribuoj estas "nenormalaj". Vidi la diskuton de "apero" pli sube.

Finfine, ke la distribuo estus nomita normala aŭ Gaŭsa distribuo konformas al la leĝo de Stigler :

"Neniu scienca malkovro estas nomita post ĝia originala malkovrinto."

Specifilo de la normala distribuo

Estas diversaj vojoj por precizigi hazardan variablon. La plej vida estas la probablodensa funkcio (grafika prezento je la supro), kiu prezentas kiel verŝajna ĉiu valoro de la hazarda variablo estas. La tuteca distribua funkcio estas koncepte pli klara vojo por precizigi la saman informon, sed al la nesperta okulo ĝia grafika prezento estas multe malpli informa (vidi pli sube). Ekvivalentaj vojoj por precizigi la normalan distribuon estas: la momantoj, la karakteriza funkcio, la momanto-generanta funkcio. Iuj el ĉi tiuj estas tre utilaj por teoria laboro, sed ne intuicia. Vidi probablodistribuon por diskuto.

Probablodensa funkcio

La probablodensa funkcio de la normala distribuo kun meznombro $\mu$ kaj varianco $\sigma ^{2}$ (aŭ ekvivalente, ĝia kvadrata radiko la varianca devio $\sigma$) estas ekzemplo de Gaŭsa funkcio,

$f(x;\mu ,\sigma )={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\,\exp \left(-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right).$

(Vidi ankaŭ eksponenta funkcio kaj pi.)

Se hazarda variablo $X$ havas ĉi tiu distribuo, ni skribu $X$ ~ $N(\mu ,\sigma ^{2})$. Se $\mu =0$ kaj $\sigma =1$, la distribuo estas nomita la norma normala distribuo kaj la probablodensa funkcio reduktas al :

$f(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,\exp \left(-{\frac {x^{2}}{2}}\right).$

La bildo dekstren donas la grafikaĵon de la probablodensa funkcio de la normala distribuo laŭ diversaj parametroj.

Iaj rimarkindaj kvalitoj de la normala distribuo:

• La denseca funkcio estas simetria rilate al ĝia meznombro.
• La meznombro estas ankaŭ ĝia reĝimo kaj mediano.
• 68.268949% de la areo sub la kurbo estas en unu varianca devio de la meznombro.
• 95.449974% de la areo estas en du variancaj devioj.
• 99.730020% de la areo estas en tri variancaj devioj.
• 99.993666% de la areo estas en kvar variancaj devioj.
• La trafleksaj punktoj de la kurbo okazas je unu varianca devio for de la meznombro.

Tuteca distribua funkcio

La tuteca distribua funkcio estas difinita kiel la probablo por ia variablo $X$ havi valoron malpli ol aŭ egala al $x$, kaj ĝi estas esprimita per la integralo de la denseca funkcio tiel :

$F(x;\mu ,\sigma )={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\int _{-\infty }^{x}\exp \left(-{\frac {(u-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\ \right)\,du.$

La norma tuteca distribua funkcio kutime simbolita $\Phi$, estas nur la ĝenerala tuteca distribua funkcio kun $\mu =0$ kaj $\sigma =1$,

$\Phi (x)=F(x;0,1)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{x}\exp \left(-{\frac {u^{2}}{2}}\right)\,du.$

La norma tuteca distribua funkcio povas esti esprimita per speciala funkcio nomita la funkcio de eraro (erf), tiel :

$\Phi (z)={\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {z}{\sqrt {2}}}\right)\right].$

La inversa tuteca distribua funkcio, estas esprimita per la inversa funkcio de eraro :

$\Phi ^{-1}(p)={\sqrt {2}}\;\operatorname {erf} ^{-1}\left(2p-1\right).$

Estas ne rudimenta primitivo por tiu funkcio, fakte neniu nun scias se veras, kaj la malesto de tia funkcio havas esti pruvota. Tamen valoroj de Φ(x) povas esti alproksimataj tre precize per diversaj manieroj, kiel cifereca integralado, serio de Taylor, aŭ asimptota serio.

Proprecoj

Iuj de la propraĵoj de la normala distribuo:

1. Se $X\sim N(\mu ,\sigma ^{2})$ kaj $a$ kaj $b$ estas reelaj nombroj, tiam $aX+b\sim N(a\mu +b,(a\sigma )^{2})$ (vidi atenditan valoron kaj variancon).
2. Se $X\sim N(\mu _{X},\sigma _{X}^{2})$ kaj $Y\sim N(\mu _{Y},\sigma _{Y}^{2})$ estas sendependa normala hazarda variablo, tiam:
   • Ilia sumo estas normale distribuita kun $U=X+Y\sim N(\mu _{X}+\mu _{Y},\sigma _{X}^{2}+\sigma _{Y}^{2})$ (vidu sumon de normale distribuitaj hazardaj variabloj).
   • Ilia diferenco estas normale distribuita kun $V=X-Y\sim N(\mu _{X}-\mu _{Y},\sigma _{X}^{2}+\sigma _{Y}^{2})$.
   • Ambaŭ $U$ kaj $V$ estas sendependaj de unu la alian.
3. Se $X\sim N(0,\sigma _{X}^{2})$ kaj $Y\sim N(0,\sigma _{Y}^{2})$ estas sendependaj normalaj hazardaj variabloj, tiam:
   • Ilia produto $XY$ sekvas distribuon kun denseco $p$ donita per
   • : $p(z)={\frac {1}{\pi \,\sigma _{X}\,\sigma _{Y}}}\;K_{0}\left({\frac {|z|}{\sigma _{X}\,\sigma _{Y}}}\right),$ kie $K_{0}$ estas aliigita Bessel-a funkcio.
   • Ilia rilato sekvas Koŝia distribuo kun $X/Y\sim \mathrm {Cauchy} (0,\sigma _{X}/\sigma _{Y})$.
4. Se $X_{1},\dotsc ,X_{n}$ estas sendependaj normaj normalaj variabloj, tiam $X_{1}^{2}+\dotsb +X_{n}^{2}$ havas chi-kvadrata distribuo kun $n$ grado de libereco.

Referencoj

• Abraham de Moivre (1738). Doktrino de ŝancoj.
• Stephen Garolo Gould (1981). La Mismezuro de Viro. Unua redakcio. W. W. Norton. ISBN 0-393-01489-4.
• R. J. Herrnstein kaj Karlo Murray_ (1994). La Sonorila Kurbo: Inteligenteco kaj Klasa Strukturo en Amerika Vivo. Libera Preso. ISBN 0-02-914673-9.
• Pierre-Simon Laplace (1812). Analitika Teorio de Probabloj.
• S. Sinjoro Stigler (1999). Statistiko sur la Tablo), ĉapitro 22. Universitato Harvard Premi. (Historio de la termino "normala distribuo".)
• Eric W. Weisstein et al. Normala Distribuo je MathWorld. Elektronika dokumento, trovis 20-a de marto, 2005.
• Marvin Zelen kaj Normanda C. Severo (1964). Probablaj Funkcioj. Ĉapitro 26 de Gvidlibro de Matematikaj Funkcioj kun Formuloj, Grafikaĵoj, kaj Matematikaj Tabeloj, eldonita per Milton Abramowitz kaj Ireno A. Stegun. Nacia Buroo de Normoj.

Eksteraj ligiloj

• Modeli Interagan Distribuon (inkl. Normala Distribuo).
• Bazaj iloj per Sixsigma
• PlanetMath: Normala hazarda variablo Arkivigite je 2008-05-16 per la retarkivo Wayback Machine
• GNU Scienca Biblioteko – Referenca Manlibro – La Gaŭsa Distribuo
• Distribua Kalkulilo – Kalkuli probablojn, kaj kritikajn valorojn per kelkaj distribuojn: Normala, Studenta t-distribuo, Khi-kvadrato kaj F-distribuo.
• Estas Normala distribuo pro Karlo Gaŭso? kaj Eŭlero, lia familio de γ funkcioj, kaj loko en historio de statistiko Arkivigite je 2006-02-10 per la retarkivo Wayback Machine(angle)
• Maxwell-aj demonoj: Simulataj probablodistribuoj kun funkcioj de propona kalkulo(angle)
• Tabelo de Normala distribuo.

Vidu ankaŭ

• Funkcio de eraro
• Korelacio ("Korelativeco")
• Korelacio ne signifas dependon
• Normala distribuo kaj nekorelacio ne signifas sendependon
• Multvariebla normala distribuo
• Studenta t-distribuo
• Statistiko
• Intelekta kvociento ("IQ")